合情推理在初中數學解題中的應用

王愛芳

合情推理是一種合乎情理的推理方法，它是推理者根據自己的知識和經驗，在一定情境和過程中做出的探索性的判斷，主要包括觀察、歸納、類比、實驗、聯想、矯正、猜想、估算等思維形式。邏輯推理用來確定數學知識，合情推理則用來為猜想提供依據。合情推理主要應用在沒有現成的解題方法時尋找一條解題途徑，就是從困難中找到出路，就是尋求一條繞過障礙的道路，由適當的方法達到所要去的而不能立即達到的目的。下面，通過例子說明合情推理在初中數學解題中的應用。

一、解方程組問題

初二有一道這樣的例題：三角形的兩條直角邊長均為整數，它的周長為x cm，且面積是x cm2，這樣的直角三角形有多少個？

解法：首先，設直角三角形三條邊為a，b，c，其中a，b為直角邊，c為斜邊。根據勾股定理和已知條件，可列出下面三個方程：a2+b2=c2 （1） ，a+b+c=x（2），ab=x （3）。三個方程共四個未知數，就給解題帶來一定困難。先從（2）和（3）得到：a+b+c= ab （4）。由方程（4）得到：c=ab-a-b 。

將此方程兩邊求平方整理后得：c2=ab（-a-b+2）+a2+b2 （5）。將方程（5）代入方程（1）整理后得：ab（-a-b+2）=0 （6）。在方程（6）中， ab≠0，必有：-a-b+2=0 （7）。整理后得到：a=4（2-b）/（4-b） （8）。

下面，進行合情推理解題。∵ a，b為正整數（兩條直角邊的長度） ，∴有下述兩種情況：（1）2-b>0和4-b>0， （2）2-b<0和4-b<0。在第一種情況時，∵b<2 ，設b=1（b為正整數），則有a=，不符合題意，舍去；在第二種情況時，則可得到b>4，若b=5 時，a=12 ，若b=8 時，a=6 ，只有這兩個值滿足題目要求。因此，得到只有兩個滿足要求的直角三角形。這類題目，需要學生認真分析題干中所給的信息，提煉與問題有 關的部分，綜合利用學過的不等式知識，作出合情的推理，才能正確解決問題。

二、代數討論問題

試寫出所有三個連續正整數立方和的最大公約數，并給出證明過程。

首先，要表示出任意三個連續正整數的立方和。三個連續正整數可以表示為n-1，n，n+1，其中n≥2。利用因式分解：a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），所以，（n-1）3+n3+（n+1）3=（n-1）3+n3+（n+1）3-3（n-1）n（n+1）+3（n-1）n（n+1）=[（n-1）+n（n+1）][（n-1）2+n2+（n+1）2-（n-1）n-n（n+1）-（n-1）（n+1）]+3（n-1）n（n+1）=3n[（n-1）2+n2+（n+1）2-（n-1）n-n（n+1）-（n-1）（n+1）]+3（n-1）n（n+1）（1）

現在，計算（n-1）2+n2+（n+1）2-（n-1）n-n（n+1）-（n-1）（n+1）的值。只要先計算a2+b2+c2-ab-bc-ca的值，再將n-1，n，n+1，代入即可。

a2+b2+c2-ab-bc-ca=（2a2+b2+c2-2ab-

2bc-2ca=[（a2+b2-2ab）+（b2+c2-2bc）+（c2+a2-

2ca），于是，將a=n-1，b=n，c=n+1 代入即得（n-1）2+n2+（n+1）2-（n-1）n-n（n+1）-（n-1）（n+1）=3

其次，將立方和化為因式積的形式。（1）式右端3n·3+3（n-1）n（n+1）=3n（n2+2），即（n-1）3+n3+（n+1）3=3n（n2+2）。

由此可見，任何連續三個正整數的立方和均含有因子3。但是，若n能被3整除，則3n（n2+2）能被9整除；若n不能被3整除，則必有n2被3除余數是1，此時n2+2能被3整除。因此，無論怎樣，3n（n2+2）都能被9整除。現在我們猜想，9就是所求的最大公約數。只要找到兩個不同的正整數m，n使得3m（m2+2）與3n（n2+2）的最大公約數是9即可。取m=2，n=3，容易得到3m（m2+2）=36，3n（n2+2）=99，顯然它們最大公約數為9，因此，所有三個連續正整數立方和的最大公約數是9。

相信大多數學生都能做到將（1）式化簡為3n（n2+2）這一步。難點就是后面的分析過程，許多學生會認為3就是所求的最大公約數，其實這是不對的。對于這類問題，很多時候我們無法直接看出結果，需要通過合理分析猜想，驗證我們的邏輯推理是否正確。所以，學生要掌握合情推理的方法和技巧，才能得到準確的結果。

三、數形結合問題

如圖所示（圖略），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以C為圓心，r為半徑作圓。①當r滿足（ ）時，直線AB與⊙C相離。②當r滿足（ ）時，直線AB與⊙C相切。 ③當r滿足（ ）時，直線AB與⊙C相交。④當r滿足（ ）時， 線段AB與⊙C只有一個公共點。

此題，考查學生數形結合的能力和知識聯系生活的能力。隨著半徑r的變化，線段CD的長度發生變化，點C到線段AB的距離也隨之發生變化。學生可以聯想到清晨太陽從地平線下冉冉升起的情景，把圓看做太陽，直線AB看做地平線，很容易理解這個問題。

初中階段數學的學習過程是培養學生養成科學思維能力的重要環節。合情推理與邏輯推理是相輔相成的關系。在學習過程中，學生要善于觀察，敢于猜想，敢于歸納，通過解題訓練自己合情推理的能力，養成創造性思維的良好習慣；在教學活動中，教師不僅要教給學生如何進行邏輯推理，還要引導學生如何猜想、聯想、觀察，培養學生的合情推理能力。中學數學教育的根本宗旨是“教會學生思考”。教師要努力啟發學生自己發現數學問題的解法，從而從根本上提高學生的解題能力。

（邳州市炮車中學）