拓撲空間童話記(下)

孫立群

（接上期）

只有一個國王的星球

小王子握住我的手，在我的頭上摸了一下，我整個身體就縮小了，只有他的小姆指那樣大，他就把我放進他的上衣口袋，于是我們從窗口飛出，直上云霄。

我實在好奇，想要知道外面是什么樣子。我把頭從口袋中伸出，只見到處都是美麗的星星，那銀河像是由鉆石綴滿的項鏈，高掛在天幕上。

我們來到一個小星球，那上面到處都是美麗的公園，公園里有許多國王和王后的雕塑像。我們進入皇宮，小王子把我介紹給了國王。

我對國王說：“至高尊貴的國王，在我所生活的地球上有一個著名的戲劇家，他的名字叫莎士比亞。他曾經這么說：‘我可以局限在一個小房子里，而認為自己是無窮空間的國王。”

“每個人由于生活環境的限制，他所看到的和所理解的空間及事物往往不一樣，主觀看法不一樣，對同一事物就會有不同的爭論。”

“我的祖先最初視界不大，以為他們生活的地球表面是平的。有一天，有一個人要去南方，他的馬車卻往北跑，人們笑他是‘南轅北轍，一定不會到達目的地，其實很可能這個人早就知道地球是圓的，只要往北走就可以走到他所要去的南方。”

“是的，我們以前也以為我們的星球是平的。”國王對我說。

“這不奇怪。我現在剪下3塊很薄的紙（見圖一），我把它們的邊緣黏起來。你可以看到3個不同的曲面。

第一個曲面像一個橢圓球，第二個曲面是圓柱，第三個是一個環面。我們現在可以看出它們是不一樣的。假定我們生活在這些曲面上，而且我們的身體不斷地縮小，小到平貼在表面上，我們在這表面上舉目四望，就會覺得我們生活在一個平面上，而不知道它是橢球面、圓柱形面還是環面。”

“我同意你的說法，因為當我們變成渺小的生物之后，我們的眼睛只能看很小的一個范圍，我們不知道我們生活的空間到底是什么樣子。可是這和我的問題有什么關系呢？”

“國王陛下，在不同的條件下，一些事物可能有不同的發展和結果。在我的國家有一個傳說：一個老人要把擋在他家門前的一座大山移走，他帶領著全家老少每天去挖山，他認為每天挖一些，山不會增高，就算他在世時見不到山被移走，他的子子孫孫萬代不竭地去挖這座山總會被挖走。

“可是如果我現在不是叫老人去移山，而是叫他移一條弧線，擺在他面前的是一個圓（如圖二）：

連結頂點2和頂點6的弧是會和連結頂點3，8及頂點4，7的弧相交。想象這些弧都是由橡皮圈做成的，我是否能把弧2和6適當移動，使它們保留在表面上又不與任何其他的弧相交？

我可以告訴您，這位老人再加上他的萬代子孫是不能在平面上解決這個問題的，因為不管他們怎樣移動，都沒法完成我的要求。”

我說完了就站在一邊，讓國王和他的臣子們去討論。爭論了半個鐘頭之后，國王說：“我相信你的話，我們沒法解決這樣的問題。”

“現在你們經過各種嘗試，得到經驗，知道這問題是不能解決的，可是處在環狀星球的人看到這個問題時會哈哈大笑，說：‘這是一個很簡單的問題，我們的3歲孩子都能解決。因為他們的生活環境和我們的不一樣，我們不能解決的問題，在他們那里很可能就變成可以解決的了。”

“你能不能告訴我他們是怎么解決的？我想知道結果。”

“好！現在我在這兩張長方形的白紙上把剛才的圖重畫一遍。我先畫頂點，然后畫弧線（如圖三），再把長方形的邊相對黏合起來，這樣我們的圖就處在環面上了。頂點1和5及頂點2和6在這兩個面上有不同的弧線連接，這些弧在環面上并不相交。”

小王子說：“也就是說，在平面上生活的人們不能解決的問題，在環狀面生活的人卻能解決。”

國王的問題的解決

“是的，你說得很對。我就是要說明一個很簡單的道理：任何人處在不同的環境和不同的時間時，對一些事物的處理方式或了解就不一樣。一些人看來簡易的東西，對另外的人可能就是深奧的。一些看來是不能解決的問題，如果把立足點換一換，很可能就可以解決了。”

“那么為王子分配領土的問題是否可以解決？”國王焦急地問。

“國王，為王子分領土的問題可以這樣看。如果把每個王子的領地用標有1，2，3，4，5的小圓圈來表示，如果兩個領地有接壤，就用一個弧線連結起來。先看在平面上是否可以把任何一個頂點和其他頂點用弧相連且互不相交？我們的地球上有一位名叫庫拉托斯基的數學家在50年代后就已證明這不可能。不管你怎樣安排它們都會如圖四（a）一樣，總是有弧會相交，可是我卻可以在環面上安排，使這些弧不相交，請您看圖四（b）。

因此你們如果不想再對這問題傷腦筋，做不可能做的事，我可以提出一個卑微的建議：請你們移民到一個環狀星球上去，這樣你們的領土分配問題就可以解決了。”

“等一等！學數先生，你只說這問題在平面上不能解決，或許在圓球面上是可以解決的呢？”國王說。

這時我拿起筆在圖四（a）上畫了兩條如圖五左邊的有箭頭的弧線。然后拿剪刀沿著弧線剪，最后用漿糊把它黏起來，就像圖五所表示那樣：

“你看，我得到的是在圓球面上的圖，它的頂點的相對位置不變，因此，在圓面上這問題仍然不能解決。”

“這真是奇妙的事，你能不能再告訴我一些關于曲面的新鮮事呢？”

只有一個面的扭帶

看到國王的興致這樣高，我繼續講下去。

“請你們看我手上的長方形紙條，你們知道它有四個邊、有兩個面：如果我讓紙條正對你們，你們可以說一個面是前面，另外一個面是后面；如果把紙條平放在桌上，你們可以說一個面是上面，另外一個面是下面。”

“如果我手上拿的是圓球或是一個玉環，你們也可以說他們有兩個面，一個是里面，一個是外面。因此我們會以為所有的曲面都有兩個面，對不對？”

大家都點點頭。我把手上的紙條扭了一下，然后把頭尾兩端黏好，得到了如圖六的曲面：

“現在你們可以看到，這個曲面只有一個邊，你們如果不相信可以用手摸，它不像圓柱曲面有兩個邊，更巧妙的是，這個曲面只有一個面！”

國王搖搖頭：“我看到的是兩個面。”

“這是你的眼睛在欺騙你，固有的看法使你不容易接受事實。怎樣證明圓柱形的面有兩個呢？你會說很容易，我可以在一面上涂上紅色，另外一面上涂上藍色，這樣就能明顯地看出兩個面來。好，現在請你用紅色彩筆把這個扭帶涂上顏色。”

涂上顏色之后，國王說：“唉呀！果然只有一個面，我現在得到一個全紅的扭帶！”

我拿著原先做好的圓柱紙圈，沿著中間平行兩個邊的大圓剪去，就得到了兩個圓柱。

“你們能不能猜想：當用剪刀把這個只有一面的扭帶順著平行一邊的紙條的中間剪下去，會得到多少個扭帶？”

其他的人都異口同聲地說：“兩個！”

我把剪刀交給國王，國王以為可以分成兩個扭帶，實際上卻沒有剪開，得到的是一個更長的扭帶。

國王目瞪口呆，喃喃自語：“這是怎么一回事？”

我又做了一個扭帶，對國王說：“如果沿著紙條寬的三分之一的一個平行邊剪，你會得到不同的結果。你們去試驗和研究吧，我已經很疲倦了，我要回我的小房子做我的無窮空間國王夢了。再見了，國王和大臣！再見了，可愛天真的人們！”

于是我回到了地球……