錯(cuò)解的剖析在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

傅子川

摘要： 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生解題中出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤一直是教師最頭痛的問題，而這個(gè)問題卻始終貫穿整個(gè)教學(xué)過程，怎么才能減少或避免學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的解題錯(cuò)誤呢？這是一個(gè)令廣大一線教師和學(xué)者所關(guān)注的實(shí)際問題，也是學(xué)生渴望從老師那里得到明確答案的問題.本文分析錯(cuò)解的剖析在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué)錯(cuò)解剖析錯(cuò)解原因作用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)存在這種現(xiàn)象，課堂上教師講得頭頭是道，學(xué)生也聽得明明白白，但是做起題目卻錯(cuò)誤百出，究其原因，忽視錯(cuò)解的作用是其中重要的一個(gè).雖然誰也不希望在解題中出錯(cuò)，但誰也不能幸免在解題中出錯(cuò)．學(xué)生在解題中出錯(cuò)是學(xué)習(xí)活動(dòng)的必然現(xiàn)象．教師對(duì)錯(cuò)解的處理是解題教學(xué)的正常業(yè)務(wù)，并且對(duì)錯(cuò)解剖析具有正例示范所不可替代的作用，兩者相輔相成構(gòu)成完整的解題教學(xué)，在課堂上及時(shí)針對(duì)錯(cuò)解進(jìn)行剖析對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量有明顯的效果.

一、分析錯(cuò)解原因能加深學(xué)生對(duì)概念和方法的理解

一節(jié)新課后，總有部分學(xué)生滿足于教師講授的概念的表面理解，而在利用這些概念解題時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.例如：在上完“空間直線與平面”后，我曾布置這樣一道習(xí)題：求證：兩條平行線和同一平面所成的角相等.對(duì)這道并不難的習(xí)題，絕大部分的學(xué)生將用文字?jǐn)⑹龅拿}翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)表示時(shí)做錯(cuò)了.他們的表述是：已知：a∥b，a∩平面α=A，b∩平面α=B，a，b和平面α所成的角分別是∠1和∠2，求證：∠1=∠2.

在習(xí)題講評(píng)時(shí)指出這種做法是將“空間直線和平面關(guān)系”的外延縮小為直線和平面相交，在證明時(shí)又進(jìn)一步將線面關(guān)系縮小為線面斜交.而實(shí)際上這一概念的外延還有：線在面內(nèi)，線面平行.原命題兩條平行線中的任何一條都可以有上面的三種位置中的任何一種.講評(píng)后引導(dǎo)學(xué)生討論，而后學(xué)生正確地將原命題用數(shù)學(xué)符號(hào)表述如下：已知：在平面α，直線a，b，且a∥b，求證：直線a，b和平面α所成的角相等.

然后分直線在平面內(nèi)，直線和平面平行、垂直、斜交四種情況分別給予證明.

通過對(duì)這個(gè)錯(cuò)解原因的分析，學(xué)生深刻理解了“空間直線和平面位置關(guān)系”的概念，并認(rèn)識(shí)到了真正理解數(shù)學(xué)概念的必要性.

中學(xué)數(shù)學(xué)有些重要的方法在數(shù)學(xué)中占有一定的地位.如數(shù)學(xué)歸納法不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要工具，而且在高等數(shù)學(xué)中也有相當(dāng)重要的位置.雖然對(duì)這部分基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)生自己不覺難以掌握，但實(shí)際上由于對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的原理理解不深，再加上教材中的例題和習(xí)題的影響，多數(shù)學(xué)生不能正確、靈活應(yīng)用這種方法.

如不少學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)認(rèn)為n取初值n時(shí)，等式左邊只有n項(xiàng)，而不是依左式的構(gòu)造規(guī)律確定n取初值n時(shí)左邊的項(xiàng)，導(dǎo)致證題錯(cuò)誤。

例1：求證：++…＞1（n∈N）

當(dāng)時(shí)，學(xué)生常誤認(rèn)為左邊僅一項(xiàng)，事實(shí)上，左邊是++.

再如n從k變到k+1時(shí)，學(xué)生受到例題的影響，認(rèn)為左邊僅增加一項(xiàng)，以致有些命題無法證明或證明錯(cuò)誤.以上例題來說n從k變到k+1時(shí)，左邊的式子增加了三項(xiàng)++，前面少了一項(xiàng).

通過這道題讓學(xué)生頭腦中的錯(cuò)誤東西暴露，并共同解剖之，給學(xué)生留下了深刻的印象.不僅明確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟都應(yīng)嚴(yán)格依照式子的組成規(guī)律確定左邊的項(xiàng)，而且認(rèn)識(shí)到應(yīng)用任何數(shù)學(xué)知識(shí)、方法前一定要先做縝密的分析，不可輕易做判斷.

二、挖掘錯(cuò)解根源使學(xué)生能正確應(yīng)用公式、定理

在教學(xué)中常可看到有些學(xué)生不重視定理、公式的使用范圍和條件，而僅憑死記硬背定理的結(jié)論和公式，亂套硬用，從而造成錯(cuò)解.這時(shí)，若能準(zhǔn)確地選擇錯(cuò)解進(jìn)行剖析，挖掘其病根，則必能使學(xué)生警覺，深感只有明確定理、公式的使用條件和范圍，才能正確應(yīng)用公式和定理.

例如，在教完“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”后的習(xí)題中有這樣一道題目：設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)、前2n項(xiàng)、前3n項(xiàng)的和分別為A、B、C，求證：A+B=A（B+C）.

學(xué)生會(huì)給出如下錯(cuò)解：

證明：設(shè)首項(xiàng)為a，公比為q，則

學(xué)生這種貌似簡(jiǎn)明的解法是錯(cuò)誤的，學(xué)生在討論后才認(rèn)識(shí)到忽略了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中的限制條件：q≠1時(shí).上述證明僅說明了q≠1時(shí)，等式A+B=A（B+C）成立，而q=1時(shí)則應(yīng)另行證明.

三、澄清錯(cuò)解原因能有效防止知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移

由于有些學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)、相識(shí)知識(shí)掌握不好，不明確它們的異同；有些學(xué)生對(duì)所積累的解題經(jīng)驗(yàn)適用范圍模糊不清，從而造成分析問題和解題時(shí)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，造成錯(cuò)解.要解決這類問題除了在教授相應(yīng)知識(shí)時(shí)不僅要指出其聯(lián)系更要講清應(yīng)用條件和范圍的區(qū)別外，還要引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)錯(cuò)解進(jìn)行剖析，澄清錯(cuò)解的原因，才能有效防止知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移.

例如：求過點(diǎn)（0，1）的直線，使它與拋物線y=2x僅有一個(gè)交點(diǎn).

錯(cuò)誤解法：設(shè)所求的過點(diǎn)（0，1）的直線為y=kx+1，則它與拋物線的交點(diǎn)為y=kx+1y=2x，消去y得（kx+1）-2x=0.整理得kx+（2k-2）x+1=0.

∵直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴△=0，解得k=.∴所求直線為y=x+1.

錯(cuò)誤分析：此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為y=kx+1時(shí)，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的.

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況.原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透.

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即k≠0，而上述解法沒有考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密.

正確解法：①當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直x軸，因?yàn)檫^點(diǎn)（0，1），所以x=0，即y軸，它正好與拋物線y=2x相切.

②當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y=1平行x軸，它正好與拋物線y=2x只有一個(gè)交點(diǎn).

③一般地，設(shè)所求的過點(diǎn)（0，1）的直線為y=kx+1（k≠0），則y=kx+1y=2x，

∴kx+（2k-2）x+1=0.令△=0，解得k=，∴所求直線為y=x+1.

四、通過對(duì)錯(cuò)解的剖析有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù).而適時(shí)適量地剖析錯(cuò)解，是培養(yǎng)學(xué)生思維的主動(dòng)性、靈活性、開闊性、嚴(yán)密性的重要途徑.

如在直角三角形ABC中，a=3，b=4，邊長(zhǎng)c為多少？許多學(xué)生會(huì)迅速回答c=5.經(jīng)反問：這個(gè)答案正確嗎？學(xué)生重新審題，聯(lián)想后發(fā)現(xiàn)答案不完整，應(yīng)討論B是直角和C是直角兩種情況.然后又啟發(fā)學(xué)生探討錯(cuò)誤根源：認(rèn)為C當(dāng)然是直角，將思路局限于“勾三股四弦五”的結(jié)論中，未能認(rèn)真審題，嚴(yán)密地對(duì)問題進(jìn)行分析、判斷.

又如：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是a=45-3n，問該數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？最大值為多少？

板書如下錯(cuò)解：a-a=（45-3n）-［45-3（n-1）］=-3

所以數(shù)列{an}是公差d=-3的等差數(shù)列，且該等差數(shù)列是遞減數(shù)列.

設(shè)前n項(xiàng)和最大，則從第n+1項(xiàng)起都是負(fù)數(shù)，從而

45-3n≥045-3（n+1）＜0

解得14＜n≤15

n=15，即數(shù)列{an}前15項(xiàng)和最大，最大值為S=15×42+×（-3）=315.

然后讓學(xué)生討論上述解法是否正確，若不正確則要求找出原因.學(xué)生在教師引導(dǎo)下剖析該解題的錯(cuò)誤在于“從第n+1項(xiàng)起都是負(fù)數(shù)”是片面的，而應(yīng)是“從第n+1項(xiàng)起都是負(fù)數(shù)或零”，從而得出：45-3n≥045-3（n+1）≤0

解得14≤n≤15

所以n=14或n=15，即數(shù)列{a}的前14項(xiàng)或前15項(xiàng)和最大，

最大值為S=S=315.

錯(cuò)解的根源是忽視了a=45-3×15=0，也忽視了零對(duì)和的大小沒有影響等隱含的條件.通過對(duì)此題的剖析，學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決問題是應(yīng)全面審查問題，挖掘出其隱含的條件.

總之，錯(cuò)解并非是沒有價(jià)值的，而是學(xué)生的錯(cuò)解是一種重要的教學(xué)資源，問題在于我們?cè)鯓犹幚硭?若我們能對(duì)典型的錯(cuò)解認(rèn)真加以剖析，則不僅能消除學(xué)生頭腦中不正確的東西，而且能有效地鞏固正確的知識(shí)，提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平和解決問題的能力.

錯(cuò)解不是作為失誤的指標(biāo)，而是作為每個(gè)學(xué)習(xí)過程所伴隨的現(xiàn)象.如果教師對(duì)錯(cuò)誤的原因進(jìn)行分析，就能更好地理解學(xué)生頭腦中的想法.對(duì)學(xué)生而言，如果他能在教師和同學(xué)的支持下，按照自己的想法解釋自己的錯(cuò)誤，而不是別人直接給他一個(gè)“正確答案”，他就能更加有效地整理自己的觀點(diǎn)，檢查自己思維過程的合理性，同時(shí)也使其他同學(xué)和教師更加清晰地理解他的真實(shí)想法，弄清“病”因.數(shù)學(xué)是每個(gè)人自己必須重新建構(gòu)的東西，不是從外部灌輸進(jìn)去的客觀知識(shí)的完整架構(gòu).教師的任務(wù)不是僅僅傳播科學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和展示正確的思想認(rèn)識(shí)，更重要的是營(yíng)造一種寬松的環(huán)境，促進(jìn)學(xué)生對(duì)已有的個(gè)性化理解進(jìn)行重新建構(gòu)，對(duì)“錯(cuò)解”進(jìn)行重新的認(rèn)識(shí).在改變錯(cuò)誤的過程中，面對(duì)自己的錯(cuò)誤解答，他們也會(huì)羞澀，心理上也有壓力，作為教學(xué)組織者、引導(dǎo)者和合作者，教師有必要教會(huì)學(xué)生積極地面對(duì)這樣的挫折，主動(dòng)地克服錯(cuò)誤，快樂地獲得新知并發(fā)展能力.

參考文獻(xiàn)：

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