優化練習活動 滲透數學思想

房小科

思想是數學的靈魂，方法是數學的行為。數學家弗賴登塔爾指出：“數學中最主要的成分始終是思想方法，而這確實是人類共同的思想源泉，即使作家或藝術家們也可從中吸取營養?！毕啾扔诰唧w的解題方法，數學思想更能反映數學發展中的普遍規律，它直接支配著數學實踐活動。對數學思想的不懈探索，更能滿足教師對“智慧數學”的追求。那么，在涉及小學數學教學近二分之一課時的練習活動中，如何有效地培育學生的基本數學思想呢？

一、改變練習的呈現形式，孕育數形結合思想

一般認識上，練習活動是“新授教學的延伸和補充”，教師通常拿一些現成的練習題應付了事，以提高正確率、提升解答速度為終極追求。其實，練習承載著多重教學目標，教材上編排的練習題都是經過專家精心設計與審定的具有典型意義的材料，在每道看似普通的習題背后通常蘊含著豐富的數學思想。教學中需要教師深入解讀習題，從不同的角度挖掘練習素材的內在價值，敏銳地予以捕捉、放大，適度加工重組，創造性地拓展延伸，使蘊含在問題里的數學思想凸顯出來。

【案例一】計算1－■－■－■－■。

師：這道題你們會做么？你打算怎樣做呢？

生：可以把這個算式改成■－■－■－■－■，分母都一樣就可以算了。

師：把異分母分數轉化成同分母分數，這個過程就是通分。

（出示圖）

師：老師把剛才這道算式轉化成了這樣一個圖形，仔細觀察，這個圖形跟算式有什么聯系？

生：我發現這個圖形就是由那個算式轉變來的。1代表整個正方形，最大的長方形是■，中等的正方形表示■……

生：我覺得把算式轉化成圖形之后，計算起來很簡便！可以直接從圖上看出結果，是■。

師：能不能為大家解釋一下，你是怎么直接看出來的？

生：1就是整個正方形，從正方形里面把代表■、■、■、■的陰影部分去掉，余下的就是空白部分，一眼就可以看出來是■。

師：跟一開始采用的通分的方法相比，后來我們是用什么方法解決問題的？這種方法有什么好處呢？

生：我們是把算式轉化成圖形來解決的。這種方法跟通分相比算得比較快，不會出錯。

師：確實，著名數學家華羅庚說：“數缺少形時少直觀，形缺少數時難入微?！卑褦祷蛩闶脚c圖形結合起來，有時更容易解決問題。

數形結合思想，其本質就是將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，通過直觀的圖形來形象地表達數學內容，實現抽象和形象的聯系與轉化。事實上，在小學數學教材中，把數與形結合起來的內容有很多，如認識整數、分數、小數中的各種方塊圖、圓圈圖，統計與概率中的條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖，空間與圖形中的幾何體以及用數對表示數等。但這些素材的呈現，往往是單一的用“形”來表達“數”，或者用“數”來描述“形”，缺乏“數”與“形”深入的溝通與聯系，僅僅是作為幫助學生認識抽象事物，建構抽象概念的中介和工具而已。因此，數形結合思想的滲透需要教師有一雙發現美的眼睛，對合適的素材合理地進行圖形化呈現，要使“形”直觀地反映“數”內在的聯系, 要能引導學生自覺地將數學問題中的運算、數量關系等與幾何圖形、圖象結合起來進行思考，要能使復雜的問題簡單化，要能提供給學生不同的分析問題、解決問題的角度，從而使“數”與“形”各展其長，優勢互補，使邏輯思維與形象思維完美地統一起來。上述案例中把枯燥的數（算式）轉化成規則的圖形，在比較溝通兩者聯系的基礎上，充分感受數形結合的直觀性和便捷性,體會用圖形幫助思考帶來的挑戰與趣味，只有這樣我們才能期望數形結合思想慢慢地從學生內心萌發起來。

二、拓展練習的思維深度，滲透極限思想

作為數學教學的重要環節，練習對發展學生思維、培養學生良好的學習習慣有著重要的作用。但常見的教學方法卻是題海戰術，以提高技能熟練度為目標，滿足于學生練了、教師講了、大部分會了而已。對如何放大每道練習題的思維價值，如何使練習過程同時成為孕育思想的過程缺乏深入的思考。正是基于對這些問題的反思，筆者在完成案例一的教學后，并沒有就此打住，而是進一步拓展，力圖使這一練習素材的價值最大化，并使其背后的數學思想凸顯出來。

【案例二】

師：（指著1－■－■－■－■＝■）看著圖形，想象一下，如果仿照這個算式繼續寫下去，后面應該減多少？結果是多少？再往后呢？

生：后面應該是減■，得■。再后面是減■，結果是■。

（結合學生的回答，多媒體出示）

1-■－■－■－■＝■

1-■－■－■－■-■＝■

1-■－■－■－■-■-■＝■

……

師：觀察這些算式，結合上面的圖形想一想，你有什么發現？

生：我發現得數的分母越來越大，分子總是1，也就是結果越來越小。

生：看了上面的圖，我覺得這個結果會越來越接近于0。

師：接近！會等于0嗎？

生：不會。

（多媒體出示：2000多年前，莊子就說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”）

師：你能解釋這句話么？

生：這句話的意思是說：一尺長的棰子，每天拿走它的一半，一萬年也拿不完。

師：這句話跟上面幾道算式和圖形有聯系嗎？

生：有聯系。它們的意思是一樣的，都是一樣東西，每次拿走剩下的一半，但永遠也拿不完。

受小學生認知特點的限制，他們對具體的、數量有限的事物容易理解，對抽象的、數量無限的事物難于把握。對于極限思想，在學習《圓的周長和面積》時，運用“化圓為方”“化曲為直”的方法，在觀察有限分割的基礎上想象它們的極限狀態，就使學生初步體驗了這種思想。本例中，通過觀察有規律的算式及其結果引導學生發現結果越來越小，越來越接近于0。但此時學生對無限小的認識還處于一種朦朧狀態，需要教師進一步啟發和引導。教師及時引導學生結合圖形思考，并適時出示了莊子的一段話，為學生的思考提供了形象支撐，幫助學生再次感悟了極限思想。

三、豐富練習的探究體驗，發展歸納思想

數學教學中如何實施有效的“練”，讓學生在練中達到效果，培養能力，提升素養，每位教師都有自己的看家本領。但要強調的是，我們不僅僅要看練習的結果，更要關注練習的過程，要敢于在練習上花時間，要敢于把練習的過程鋪展開來，要讓學生充分經歷數學探究的過程。好的練習要像“調味劑”，讓學生在練習的過程中享受愉悅與成功;要像“磨刀石”，使學生的思維能夠越磨越鋒利;要像“孵化池”，能使數學思想在學生心中發芽成長。

【案例三】有4支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制（即每場比賽淘汰1支球隊）進行，一共要進行多少場比賽才能產生冠軍？

師：這樣的題，你準備怎么解決？

生：畫示意圖。

（學生獨立畫示意圖解決，教師巡視，指導畫樹形圖，大部分學生很容易地得到需要3場比賽）

師：如果，現在不是4支球隊參加比賽，而是64支球隊參加比賽。怎么辦呢？還用畫圖么？

生（猶豫）：用畫圖的方法好像太麻煩了，參賽球隊太多了。

師：遇到這種數據比較大的題，我們可以先舉幾個數據比較小的例子進行嘗試，得到規律后再解決原來的題。比如這題，你有什么好主意呢？

生（欣喜）：可以先用畫樹形圖的方法找出5支球隊、6支球隊、7隊球隊……參加比賽需要幾場，看看有什么規律。

師：好辦法！下面就請每個同學任意舉兩個例子，用畫圖的方法看看各要比賽幾場吧。

學生做好后展示匯報自己的結果，教師相機板書：

師（指著板書）：觀察比較我們剛才得到的數據，你有什么發現嗎？

生：我發現產生冠軍需要的場數總是比球隊的支數少1，或者說球隊的支數總比比賽的場數多1。

生：我知道了64支球隊比賽決出冠軍需要63場比賽。

歸納思想在數學思想體系中屬于比較難的一種，其本質是對若干特殊事例進行考察，從中概括出一般性結論?！盎舅枷肫浔举|涉及演繹和歸納，這應當是整個數學教學的主線?！保追舱埽┦苄W生年齡特征的制約，小學數學教學中的概念、定義、算理、法則大多是由不完全歸納而來，而極少純數學的演繹，應該說這是符合學生的認知規律的。比如在教學《三角形的內角和》時，先由直角三角形、等邊三角形算出其內角和，再用猜測、操作、驗證等方法推導一般三角形的內角和，最后歸納得出所有三角形的內角和為180度。再如，加法運算律的教學，也是通過對大量加法算式的比較觀察，進一步合理推想而概括得出交換律和結合律。這些都是運用了不完全歸納的思想方法。

新授環節中的歸納，常常是作為認識概念、總結規律的工具，而練習中運用歸納思想則更能彰顯其在發現問題、解決問題中的價值，更能凸顯出“歸納往往表現為一種智慧”。 如在上述案例中，教師沒有以問題的解決為最終目標指向，而是進一步引導學生在復雜的、難以解決的問題面前，先從簡單的做起，分別用畫圖的方法得到4支、5支、6支……球隊參賽時的比賽場數，再合理推及64支球隊參賽的情況。把解決問題的過程充分展開，讓學生完整地經歷由特殊到一般，從簡單到復雜，大題小做、歸納推理的方法，不但能使學生的思維層次得到提升，更能促進學生從“學會”轉向“會學”。

數學思想是學生心理活動的產物，是體驗的結果。學生的數學思想只能在自己的內部萌生，不能從外部輸入。教學時，教師要避免簡單地說“這就是極限的思想”“這就是歸納的思想”，而應該以數學思想附著的數學知識、數學方法為依托，剖析數學思想的來龍去脈，感受數學思想的本質特征。隨著學習的深入，學生在練習過程中積累了豐富的經驗并進行了大量的親身體驗，在此基礎上才能充分感悟到：雖然遇到的問題的類型不斷變化，但解決這些問題的思想卻始終如一。