穿行于“溫情”與“冷峻”的中間地帶

仲?gòu)V群

人們熱議數(shù)學(xué)的“生活味兒”，始于十年前的新課程改革，那一陣，“數(shù)學(xué)回歸生活”運(yùn)動(dòng)可謂轟轟烈烈。幾年后，人們又開(kāi)始反思、審視甚至抨擊過(guò)度的“生活味兒”，理由是數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)，就應(yīng)該有濃濃的數(shù)學(xué)味兒。于是“去情境化”姿態(tài)昂然步入輿論主流。不難看出，這是數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的一種“鐘擺”現(xiàn)象，它大致反映了教育實(shí)踐者在這期間的一段嘗試、探索與反思的心路歷程。需要說(shuō)明的是，這是一種人們“螺旋上升”地認(rèn)識(shí)事物的正常現(xiàn)象，我們不應(yīng)對(duì)“第一個(gè)吃螃蟹的人”橫加指責(zé)，而恰恰應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，正是這一段大膽的摸索，讓我們對(duì)問(wèn)題的來(lái)龍去脈和是非曲直有了一個(gè)更為理性的認(rèn)識(shí)，“長(zhǎng)一智”有時(shí)的確是需要以“吃一塹”為代價(jià)的。那么，從先前的探索與努力中，我們又應(yīng)該得出怎樣的結(jié)論呢？對(duì)后續(xù)的實(shí)踐，我們又應(yīng)該提出怎樣的合理建議呢？對(duì)此我們有必要進(jìn)行整理與總結(jié)，以免老師們?cè)诠ぷ髦袩o(wú)所適從和隨波逐流。

一、數(shù)學(xué)需要生活味兒，它反映了數(shù)學(xué)“溫情”的一面，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的一條重要途徑

探討“數(shù)學(xué)中的生活”，我們不妨從“生活中的數(shù)學(xué)”入手。研究“生活中的數(shù)學(xué)”，其思路是從日常生活、大眾傳播媒介（報(bào)紙、雜志、廣播、電視等）以及各行業(yè)中去尋找、了解、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用情況，從而為數(shù)學(xué)教育的課程體系充實(shí)內(nèi)容，為改善課堂教學(xué)提供依據(jù)。當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)在人們的交流中，角度、對(duì)稱、概率、百分率、平均等數(shù)學(xué)概念已成為日常交流語(yǔ)言時(shí)；當(dāng)我們感受到成本、利潤(rùn)、投資、儲(chǔ)蓄、股票、債券等已成為現(xiàn)代生活不可或缺的組成部分時(shí)；當(dāng)我們體會(huì)到定量化思想、分類思想、統(tǒng)計(jì)思想、概率思想、模型思想等已滲透進(jìn)人們的思維，成為解決問(wèn)題的科學(xué)方法時(shí)，我們真切地感受到，現(xiàn)代社會(huì)中處處彌散著濃濃的“數(shù)學(xué)味兒”，或者說(shuō)，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到人類生活的各個(gè)領(lǐng)域，它在人們的生活和生產(chǎn)建設(shè)中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。

由生活中這種濃濃的“數(shù)學(xué)味兒”所決定，數(shù)學(xué)中，特別是小學(xué)數(shù)學(xué)中也必然要煥發(fā)出濃濃的“生活味兒”。一來(lái)數(shù)學(xué)源于生活。數(shù)學(xué)史告訴我們，數(shù)學(xué)也正是順著生活的“理”，促成了初期的數(shù)學(xué)發(fā)展。二來(lái)數(shù)學(xué)還應(yīng)當(dāng)歸于生活，現(xiàn)有的研究成果表明，人類幾乎所有的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，都可以轉(zhuǎn)化為實(shí)實(shí)在在的“生產(chǎn)力”。所以，沒(méi)有生活味兒的數(shù)學(xué)，不僅意味著“無(wú)趣”，而且意味著“無(wú)用”。事實(shí)上，正是數(shù)學(xué)中濃濃的生活味兒，鑄就了其“溫情”的一面，它讓數(shù)學(xué)像“美麗動(dòng)人的王后、得心應(yīng)手的仆人、聰明伶俐的寵物”，也讓數(shù)學(xué)變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。

若是從兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的角度來(lái)考察，還會(huì)讓我們有更為深切的感受。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，指出學(xué)生的“應(yīng)用意識(shí)主要表現(xiàn)在：認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用；面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的策略；面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能主動(dòng)尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值”。不難看出，只有在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中注入數(shù)學(xué)的生活味兒，才能幫助學(xué)生全面而深刻地理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，體察社會(huì)文化和數(shù)學(xué)文化之間的互動(dòng)，并自覺(jué)把數(shù)學(xué)和生活、科技、環(huán)境、教育等聯(lián)系起來(lái)，在數(shù)學(xué)價(jià)值所特有的親和力的感召下，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)中體現(xiàn)生活味兒的入口有很多，比如可以反映地方文化、民族風(fēng)情，向?qū)W生傳遞更多的社會(huì)信息；可以設(shè)置一些小實(shí)踐、小調(diào)查、民俗小知識(shí)、生活小竅門等，幫助學(xué)生走進(jìn)生活，親近生活。像教學(xué)《按比例分配》這部分內(nèi)容時(shí)，可以介紹水餃的歷史和包水餃的主料配比。這樣，既與生活息息相關(guān)，又讓學(xué)生了解了一些中華民族的飲食文化。豐富多彩的兒童生活更是數(shù)學(xué)課堂中生活題材的不竭源泉，諸如春游、野炊、小型的社會(huì)調(diào)查等活動(dòng)；環(huán)保、社區(qū)生活、家庭理財(cái)?shù)葐?wèn)題都可以進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂。當(dāng)然，有些陳舊的、虛假的或是兒童無(wú)法理解的題材，數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值就較小，對(duì)此我們應(yīng)當(dāng)摒棄或加以改造。比如，有關(guān)進(jìn)水管和出水管的題目，從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度審視就要進(jìn)行相應(yīng)的加工處理，可將它改造成一個(gè)家庭的積蓄問(wèn)題，變成“一個(gè)家庭的年收入和支出的數(shù)目都已經(jīng)確定了，這個(gè)家庭要多少時(shí)間才能達(dá)到一定數(shù)額的積蓄”，這樣的情境在現(xiàn)實(shí)生活中是真實(shí)的，對(duì)學(xué)生而言，可感可知且富有情調(diào)，生活味兒便充盈其中。

二、數(shù)學(xué)需要數(shù)學(xué)味兒，這是數(shù)學(xué)“冷峻”的一面，是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)所決定的，是學(xué)生“火熱的思考”的源泉

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的生活味兒，并不意味著要以弱化甚至犧牲數(shù)學(xué)味兒為代價(jià)，恰恰相反，以“生活味兒”為肥沃的土壤，培植并孕育出“數(shù)學(xué)味兒”才是我們理想的選擇。為此，我們既應(yīng)為學(xué)生呈現(xiàn)特定背景下的學(xué)習(xí)情境，又應(yīng)幫助學(xué)生較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)具體情境的超越，幫助學(xué)生自覺(jué)地建構(gòu)隱藏在情境背后的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法。我們要使學(xué)生理解并掌握抽象的、形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)，并通過(guò)此途徑切實(shí)培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力。

“數(shù)學(xué)味兒”在數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種怎樣的表現(xiàn)形態(tài)呢？如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的“數(shù)學(xué)味兒”呢？我們可以從鄭毓信教授的觀點(diǎn)中得到啟發(fā)：“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵是要有從超越問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)情境過(guò)渡到構(gòu)建抽象的數(shù)學(xué)模式過(guò)程，即 ‘去情境化過(guò)程。只有重視并研究數(shù)學(xué)情境教學(xué)中的去情境化問(wèn)題，才能使學(xué)生經(jīng)過(guò)抽象概括，更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法。”

顯然，抽象在“數(shù)學(xué)味兒”中扮演著重要的角色。數(shù)學(xué)抽象具有鮮明的層次性。就抽象的深度而言，大致分為三個(gè)層次，現(xiàn)以《分?jǐn)?shù)》的教學(xué)為例加以說(shuō)明。

教學(xué)首先應(yīng)從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)入手，這種已有經(jīng)驗(yàn)應(yīng)具備兩方面的條件，一是學(xué)生生活中所熟知的，二是具備抽象數(shù)學(xué)概念所必需的要素：均分。顯然，生活中的分蘋果、分蛋糕等成了我們首選的題材。學(xué)生通過(guò)“分”能夠明白，過(guò)去經(jīng)驗(yàn)中最小的“1”還是可以繼續(xù)分下去的，不過(guò)分得的結(jié)果就得用新的數(shù)來(lái)表示了。這實(shí)際上是完成了抽象的“簡(jiǎn)約階段”。

概念的抽象往往不是一次性完成的，我們進(jìn)而還需要組織學(xué)生通過(guò)折紙、填圖等操作性活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生向更高一層的抽象發(fā)展，亦即讓學(xué)生明白，線段、長(zhǎng)方形、圓……以致一整塊的物體，都也可以像分蘋果、分蛋糕那樣均分下去，這就是所謂的“二階抽象”。

較之于“連續(xù)量模型”而言，學(xué)生對(duì)于“離散量模型”的理解會(huì)來(lái)得更為困難。因?yàn)檫@是更高一層次的抽象，即通過(guò)抽象能夠在一般意義上解釋具體事物，我們稱其為“普適階段”。這一階段的目標(biāo)是，學(xué)生必須掙脫對(duì)具體事物的束縛，理解作為均分對(duì)象的單位“1”具有一般化的意義，這樣，學(xué)生關(guān)于分?jǐn)?shù)的概念才算是真正建立起來(lái)了。

我們不難看出，“數(shù)學(xué)味兒”和“生活味兒”在這一過(guò)程中是此消彼長(zhǎng)的，亦即越往高層次的抽象，數(shù)學(xué)味兒越濃，而生活味兒變得越淡。當(dāng)學(xué)生真正理解單位“1”時(shí)，幾乎就沒(méi)有生活味兒了，因?yàn)檫@世界上根本沒(méi)有單位“1”，有的只是兩個(gè)瓶子、一個(gè)班級(jí)的學(xué)生等具體的事物。這里的“1”已經(jīng)不再依賴于某一特定的物體而存在了，而是具有了無(wú)量綱性，能夠把事物許多原本不可比的狀態(tài)變成了可比的狀態(tài)（如一群牛的■與一個(gè)足球場(chǎng)的■意義是不同的，但在討論分?jǐn)?shù)時(shí)又是等價(jià)的）。“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象。”抽象，是數(shù)學(xué)“冷峻”的一面，但正是因?yàn)槌橄螅覀兊恼n堂才有了數(shù)學(xué)味兒，也正因?yàn)槌橄螅覀儾拍軓恼嬲饬x上說(shuō)，學(xué)生所學(xué)習(xí)的是“數(shù)學(xué)”。抽象還將數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”變成學(xué)生“火熱的思考”，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向了深刻。

需要強(qiáng)調(diào)的是，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象是需要條件的，學(xué)生建立分?jǐn)?shù)的概念必須先積累大量的感官經(jīng)驗(yàn)、操作經(jīng)驗(yàn)，并且這些經(jīng)驗(yàn)又要具有某些相似性、共通性，然后經(jīng)由多個(gè)層次的“抽象”這一心智活動(dòng)才得以完成。這也進(jìn)一步說(shuō)明，“數(shù)學(xué)味兒”其實(shí)是以“生活味兒”為基礎(chǔ)的，而若不能以豐富的經(jīng)驗(yàn)作支撐，概念的建立就成為無(wú)源之水、無(wú)本之木。

三、既有生活味兒，又有數(shù)學(xué)味兒，這是完整的小學(xué)數(shù)學(xué)，因?yàn)樗粌H吻合了兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，又擦亮了數(shù)學(xué)學(xué)科亮麗的底色

數(shù)學(xué)如同一個(gè)硬幣，“溫情”是它的一面，“冷峻”是它的另外一面。兩者相輔相成，不可或缺。數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，但又是脫離生活發(fā)展起來(lái)的；數(shù)學(xué)的形式是簡(jiǎn)約的，但涵蓋的具體意義又是豐富的……換言之，數(shù)學(xué)是個(gè)多面體，從不同的視野我們可以品味出不同的意味。理想的數(shù)學(xué)課堂總是呈現(xiàn)出這樣的路徑：生活味兒——數(shù)學(xué)味兒——生活、數(shù)學(xué)味兒，亦即倡導(dǎo)從生活原型出發(fā)，通過(guò)抽象、概括，引出數(shù)學(xué)結(jié)論，繼而將這一結(jié)論在生活中進(jìn)行檢驗(yàn)和應(yīng)用，這樣的思路，正好吻合了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“問(wèn)題情境——建立模型——解釋應(yīng)用與拓展”這一基本教學(xué)模式。

回顧數(shù)學(xué)教學(xué)改革的歷史給我們很多啟示，在我國(guó)的歷史上，就有過(guò)多次動(dòng)蕩與波折。“由于‘文革期間過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)聯(lián)系生產(chǎn)實(shí)際，片面強(qiáng)調(diào)實(shí)用，一旦恢復(fù)正常教學(xué)秩序，要不要講數(shù)學(xué)應(yīng)用，似乎成為問(wèn)題。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)學(xué)就是純粹的數(shù)學(xué)，將應(yīng)用視為‘實(shí)用主義‘短視行為”。課程改革后，一會(huì)兒強(qiáng)調(diào)“生活味兒”，一會(huì)兒強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)味兒”，均未能在數(shù)學(xué)與生活間找到一個(gè)合適的平衡點(diǎn)。為此，我們應(yīng)處理好以下幾個(gè)問(wèn)題：

一是“度”的把握。過(guò)度的數(shù)學(xué)味兒會(huì)導(dǎo)致枯燥、冰冷、無(wú)趣，與兒童爛漫、童趣和思維的形象特征相抵觸；過(guò)度的生活味兒會(huì)導(dǎo)致膚淺、蒼白、平庸，與數(shù)學(xué)學(xué)科的任務(wù)和目標(biāo)相背離。所以，我們需要在兩者之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)，讓“溫情”與“冷峻”并重，并促進(jìn)兩者相輔相成、相得益彰。

二是對(duì)情境的把握。“數(shù)學(xué)味兒”對(duì)創(chuàng)設(shè)情境提出了要求，即要是真實(shí)的（或可能的）、兒童感興趣的、能夠進(jìn)一步深化拓展的。當(dāng)前比較突出的問(wèn)題是在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時(shí)遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)內(nèi)容，過(guò)分關(guān)注趣味性而忽視數(shù)學(xué)性；過(guò)分關(guān)注創(chuàng)設(shè)情境本身，而忽視“去情境化”等其他后續(xù)教學(xué)環(huán)節(jié)。這就使得情境不能充分發(fā)揮其在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中的價(jià)值，影響了教學(xué)效果。

三是對(duì)時(shí)機(jī)的把握。從情境向數(shù)學(xué)推理、抽象的轉(zhuǎn)換，要適時(shí)、適度、適當(dāng)，如果過(guò)于拖沓，則會(huì)影響“數(shù)學(xué)化”進(jìn)程。同樣，建立起數(shù)學(xué)模型后，也應(yīng)及時(shí)用來(lái)解釋、應(yīng)用，這不僅是引領(lǐng)學(xué)生活學(xué)活用的需要，也是幫助學(xué)生進(jìn)一步深化認(rèn)知的需要。

“數(shù)學(xué)味兒”與“生活味兒”的平衡，從學(xué)科內(nèi)部看，是數(shù)學(xué)的高度抽象性與它的廣泛應(yīng)用性之間的平衡；從學(xué)科外部來(lái)看，則是數(shù)學(xué)的理性與兒童認(rèn)知的感性之間的平衡。如此，只有把“冰冷的美麗”化做“火熱的思考”，才是既有了兒童基點(diǎn)，又有了數(shù)學(xué)視野的理想境界。