基于空間解析幾何方法的立體幾何問題解析

崔秋珍

摘要：向量運算與解析幾何、立體幾何、函數(shù)和三角有著密切的聯(lián)系，也是近年高考的一種趨勢題型。空間解析幾何中的向量運算和線面關(guān)系為解決立體幾何問題提供了一個代數(shù)化的方法。

關(guān)鍵詞：空間解析幾何；立體幾何；向量

中圖分類號：G642.3？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）12-0186-03

空間圖形的平行、垂直、距離、夾角問題是立體幾何解決的主要問題。常規(guī)的立體幾何方法主要依據(jù)定理和概念、借助各種幾何圖形的不同變化、利用邏輯推理對空間圖形的性質(zhì)進行研究，一些復雜的題型解題時常常需要找到準確的切入點，通常需要構(gòu)造輔助線、輔助面轉(zhuǎn)化為平面幾何問題。這些問題的本身常具有技巧性和隨機性，對學生要求具有較強的空間想象和作圖能力。而利用空間解析幾何的向量和線面關(guān)系解決立體幾何問題越來越多地應用于實踐教學。空間向量具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的紐帶。借助空間向量，常使得一些復雜問題的處理變得直觀和簡單易行。本文試從幾個方面探討空間解析幾何方法在解決立體幾何問題的應用。

一、空間解析幾何方法解決空間圖形平行與垂直關(guān)系

空間圖形的平行關(guān)系有線線平行、線面平行、面面平行。可以分別轉(zhuǎn)化為向量平行、向量共面和垂直問題解決。設直線l的方向向量為■，平面π的法向量為■，兩直線l1和l2方向向量為■■和■■，平面π1和π2的法向量為■■和■■，則上述問題的向量關(guān)系表示為：

l1//l2//？圳■■//■■？圳■■=k■■，k∈R（線線平行）；

l//π？圳■⊥■？圳■·■=0，或■與π內(nèi)的兩個相交向量■、■共面。（線面平行）；

π1//π2？圳■■//■■？圳■■=k■■，k∈R（面面平行）；

空間圖形的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直。可以分別轉(zhuǎn)化為向量垂直、向量平行問題解決。

l1⊥l2？圳■■⊥■■？圳■■·■■=0（線線垂直）；

l⊥π？圳■//■？圳■=k■，k∈R，或■與π內(nèi)的兩個相交向量■、■垂直。即■，■=0，■·■=0（線面垂直）；

π1⊥π2？圳■■⊥■■？圳■·■■=0（面面垂直）。

例1（2012新課標全國卷）如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=■AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD。證明：DC1⊥BC。（線線垂直）

證明：以C為坐標系原點，■，■，■為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系C-xyz，設AC=1，則直三棱柱ABC-A1B1C1各點在坐標系下的坐標為A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、A1（1，0，2）、B1（0，1，2）、C1（0，0，2）、D（1，0，1）.DC1⊥BC？圳DC1·BC=0，∵DC1=（-1，0，1），BC=（0，-1，0），DC1·BC=0+0+0=0，∴DC1⊥BC。

例2（2012大綱全國卷）如圖2，四棱錐中P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2■，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC。證明：PC⊥平面BED。（線面垂直）

證明：∵PA⊥底面ABCD，ABCD為菱形，∴AC⊥BD，以A為坐標原點，■、■、■分別為x軸、y軸、z軸的正向，建立空間直角坐標系A-xyz。則C（2■，0，0），A（0，0，0），P（0，0，2），PC=2■，∵PE=

2EC

∴EC=■。所以E（■，0，■）。設D（■，λ，0），其中λ>0，則B（■，-λ，0）。于是：

■=（2■，0，-2），■=（■，λ，■），■=（■，-λ，■）。∵■·■=2■×■+0×λ+（-2）×■=0

■·■=2■×■+0×（-λ）+（-2）×■=0

∴PC⊥BE，PC⊥DE，從而PC⊥平面BED。

二、空間解析幾何方法解決空間圖形間的夾角和距離

立體幾何中的異面直線夾角、直線與平面的夾角、二面角的平面角的確定在向量運算中可以如下表示。

兩直線l1和l2的方向向量■■和■■的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角。可由公式

cosφ=|cos（■■，■■）|=■確定。

設直線l與它在平面π上的投影夾角為φ。因為φ=■-（■，■），所以sinφ=cos（■，■）=■。

設兩平面的夾角為φ，兩平面π1和π2的法向量為■■和■■，當0≤（■■，■■）≤■時，兩平面的夾角為（■■，■■），當■<（■■，■■）≤π，兩平面的夾角為π-（■■，■■）。所以cosφ=cos（■■，■■）=■。

平面外一點到平面的距離：設P為平面π外一點，■為π的法向量，A為平面內(nèi)任一點，■與π的夾角為θ（0<θ<■）。則d=■sinθ=■cos（■，■）=■。即■在■上投影的絕對值。

異面直線間的距離：設異面兩直線l1和l2的方向向為量■1和■2。■為與l1、l2公垂線共線的向量。由■⊥■1？圳■·■1=0，■⊥■2？圳■·■2=0。解得■。在l1和l2上分別取點A和B。則■在■上投影的絕對值即為所求。d=■。

例3（2012上海卷）如圖4，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2■，PA=2。求異面直線BC與AE所成角的大小。

解：以A為坐標原點，■、■、■為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系A-xyz。則有：A（0，0，0），B（2，0，2），C（2，2■，0），E（1，■，1）。■=（1，■，1），■=（0，2■，0）。設■、■的夾角為φ，則cosφ=cos（■，■）=■=■，φ=■。所以異面直線BC與AE所成角的大小是■。

例4（2012山東卷）如圖4所示幾何體，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。求二面角F-BD-C的余弦值。

解：因為四邊形ABCD是等腰梯形，∠CBA=∠DAB=60°

連接BD，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，又CB=CD，∴∠CBD=∠CDB

∴∠ABD=∠CDB

=■∠CBA=30°。

∴∠ADB=90°，■⊥■，所以■⊥■。又FC⊥平面ABCD，所以■、■、■兩兩垂直。以C為坐標原點，■、■、■為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系C-xyz。設CB=1，則C（0，0，0），B（0，10），D（■，-■，0），F(xiàn)（0，0，1）。■=（■，-■，0），■=（0，-1，1）。取■=（0，0，1）為平面BDC法向量。設平面BDF的一個法向量為■=（x，y，z），則■⊥■，■⊥■，即■·■=0，■x-■y=0，■·■=0，-y+z=0。取y=1，z=1，x=■。■=（■，1，1）。cos（■，■）=■=■=■。

所以二面角F-BD-C的余弦值為■。

例5如圖5，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，求棱錐D-PBC的高。

解：從D點做AB垂線交AB于E，∵ABCD為平行四邊形。∴DE⊥DC，∵PD⊥底面ABCD。∴DP、DC、DE兩兩垂直。以D為坐標原點，■、■、■為x軸、y軸、z軸的正向建立直角坐標系。∵∠DAB=60°AD=PD=1，AB=2AD，∴AE=■，DE=■∴各點坐標為：D（0，0，0）、A（■，-■，0），B（■，■，0），C（0，2，0），P（0，0，1）。■=（■，■，-1），■=（0，2，-1），■=（0，0，-1），設平面PBC的一個法向量為■=（x，y，z），■⊥■，■⊥■。∴■·■=0，■x+■y-z=0，■·■=0，2y-z=0，令y=1得x=■，y=1，z=2.■=（■，1，2）。由前面的討論。棱錐D-PBC的高h為■在■上的投影的絕對值。h=■=■=■。

三、空間解析幾何用于解決立體幾何動態(tài)問題

在解決立體幾何問題中，除了固定不變的線線、線面、面面間的平行、垂直、夾角、距離間的問題外，經(jīng)常還會遇到一些滲透“動態(tài)”的點、線、面元素的問題。這些問題相對于常規(guī)問題常更具有靈活性和挑戰(zhàn)性。利用空間向量方法常使這些看起來無從下手的立體幾何復雜問題迎刃而解。

例6如圖6，已知正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)D⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，F(xiàn)D=BE=1，M為BC邊上的動點。（1）證明：ME∥平面FAD；（2）試探究點M的位置，使平面AME⊥平面AEF。

（1）證明：以D為坐標原點，■、■、■為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系D-xyz。則有D（0，0，0）、A（1，0，0），F(xiàn)（0，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0），E（1，1，1）。因為M為BC邊上的動點，所以設M（λ，1，0），ME=（1-λ，0，1）。平面FAD的一個法向量為DC=（0，1，0），∵ME·DC=0+0+0=0，∴ME⊥DC，即ME∥平面FAD。

（2）設平面AEF的法向量為■1=（x1，y1，z1），平面AME的法向量為■2=（x2，y2，z2）。

∵■=（-1，0，1），■=（0，1，1），■1⊥■，■1⊥■。

∴■·■=0，-x1+z1=0，■1·■=0，y1+z1=0，令z1=1得x1=1，y1=-1，■1=（1，-1，1）。

又∵■=（λ-1，1，0），■=（0，1，1），■2⊥■，■2⊥■.

∴■2·■=0，（λ-1）x2+y2=0，■2·■=0，y2+z2=0，令x2=1得y2=1-λ，z2=λ-1，∴■2=（1，1-λ，λ-1）

若平面AME⊥平面AEF，則■1⊥■2，■1·■2=0，即1-（1-λ）+（λ-1）=0，解得λ=■，此時M為BC的中點。所以當M為BC的中點時平面AME⊥平面AEF。

綜上分析可以看出，利用空間解析幾何的向量方法處理立體幾何問題是非常簡單和有效的。其關(guān)鍵點是根據(jù)幾何圖形中的垂直關(guān)系，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，利用立體幾何圖形中所涉及的點表示向量，進而使立體幾何問題中的線線關(guān)系和線面關(guān)系，以及夾角和距離問題轉(zhuǎn)化為向量間的對應關(guān)系解決，最終再把向量運算的結(jié)果用來表述相應的立體幾何問題。

參考文獻：

[1]徐永東.用向量解釋立體幾何中動與靜的變化[J].銅仁學院學報，2007，（3）：109-111.

[2]李銳.現(xiàn)代教育技術(shù)與空間解析幾何教學整合的研究[J].中國電力教育，2010，（34）：91.

[3]周濤.向量在立體幾何中的應用[J].中國校外教育，2012，（10）：129.

[4]杜志建.高考復習講義[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2012.

[5]杜志建.金考卷特快專遞[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2012.

[6]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2007.