淺析初中數學中的數形結合思想

黃艷曦

我國著名的數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”這句話說明了“數”和“形”是緊密聯系的。“數”和“形”是數學的兩根柱石，所謂數形結合就是根據數學問題的題設和結論之間的內在聯系，既分析其數量關系，又揭示其幾何意義，使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并充分利用這種結合來探索解決問題的思路，從而使問題得以解決的思想方法。關于“數形結合”思想在初中數學中的運用，我總結了幾點自己的看法與大家交流。

一、數形結合思想在初中數學中的重要性。

數形結合思想是中學數學中的一種重要的數學思想，貫穿于整個中學數學始終，它包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其運用大致可以分為兩種情形：借助于形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，比如運用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，如運用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。數形結合即以數作為手段，形作為目的，用這種思想來解決數學問題往往可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。數形結合思想既能發揮代數的優勢，又可以充分利用圖形的直觀性，從多個角度探索問題，對思維能力的發展大有裨益。

數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，養成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，又是進行數學素質教育的一個切入點。

二、教學中滲透數形結合思想，形成用數形結合分析問題的意識。

縱觀近年來的中考，熔“數”和“形”于一體的試題屢見不鮮。目前我們使用的新課本，不再把數學課劃分為“代數”、“幾何”，而是綜合為一門數學課，這樣更有利于“數”與“形”的結合，因此數學教師在教學中要做好“數”與“形”關系的揭示與轉化，運用數形結合的方法，幫助學生類比、發掘，剖析其所具有的幾何模型，這對于幫助學生深化思維，拓展知識，提高能力都有很大的幫助。運用數形結合思想不僅直觀、易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。所以要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維。

下面通過幾個例題的分析給予解評。

例1：數形結合與函數問題

解析：這是一道三角函數問題，如果沒有圖形，學生將較難理解題目，感覺到無從下手。有了圖形，可以將數形結合起來，通過“數”與“形”的轉化將抽象問題具體化。

解：過C作AB的垂線，交直線AB于點D，得到Rt△ACD與Rt△BCD.

答：輪船繼續向東航行15海里，距離小島C最近.

由以上的幾個例子，我們可以看出數形結合思想的應用往往能使一些錯綜復雜的問題變得直觀，解題思路非常清晰，步驟非常明了。另外，在學生學習過程中，可以激發學生學習數學的興趣。

三、培養學生對“數形結合”思想方法的興趣。

數形結合的思想方法，不像一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。以往的數學題是單純地對于“數”或“形”這樣的單個個體而展開的，而數形結合思想卻同時包含了“數”和“形”兩個對象，研究對象可由“數”轉變為“形”，也可由“形”轉變為“數”，學生要改變以往單一的處理符號信息或者是圖形信息的操作，要將兩種信息同時進行操作，將原本看上去無關的代數和幾何融合在一起，甚至是將其融會貫通。這就給學生的學習加大了難度，也打擊了學生學習數學的激情和降低了學生學習數學的熱情。因此，培養學生對“數形結合”的興趣顯得尤為重要。我認為可以從以下幾個方面入手。

1.將數學與實際生活聯系起來，讓學生在生活中感受“數形結合”思想。如每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看做是一條直線，教室里每個學生的座位，等等。我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的形與數相結合遷移到數學中來。在教學中進行數學數形結合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數與數軸，一對有序實數與平面直角坐標系，一元一次不等式的解集與一次函數的圖像，二元一次方程組的解與一次函數圖像之間的關系等，都是滲透數形結合思想的很好機會。

2.培養學生發掘數學的美感。數學家哈代曾說：“數學就像畫家的顏色或者詩人的文字一樣，一定會和諧地組合在一起。美感是首要的試金石，丑陋的數學在世界上是站不住腳的。”數學美感在生活和情感等方面的體現，如果在數學教學中揭示數形結合思想同時也能夠使學生享受到美感，就能激發學生學習和運用數形結合思想的興趣，從而大大地增強他們的學習效果。如黃金分割在生活中的運用，舉世聞名的完美建筑古希臘帕提依神廟，建筑師們發現由于高和寬的比是0.618，按照這樣的比例進行建筑設計，建筑物會更加壯觀。教師在教學中引導學生體會數形結合的美感，增強他們對數形結合思想的興趣，從而更加積極地學習和運用數形結合思想。

3.通過典型例題讓學生感受和分析數形結合思想，并反復滲透，強化數學中的數形結合思想，使學生逐步形成數學學習中的數形結合的意識。并引導學生在運用數形結合思想的時候注意一些基本原則，如是知形確定數還是知數確定形，在探索規律的過程中應該遵循由特殊到一般的思路進行，從而歸納總結出一般性的結論。另外，加強相應練習，讓學生在數學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對數形結合思想的主動運用。

四、結論

數學家喬治·波利亞曾說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”數形結合思想作為數學思想方法中重要的一員，具有重要的地位和作用。教師可以利用現有教材，在教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握數形結合的思想方法，結合其他數學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合運用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發學生積極思維，相信這會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。