巧列方程解決數學問題的探索

黃明輝

方程是一種用逆向思維解答實際問題的方法，它對豐富學生解決問題的策略、提高解決問題的能力、發展數學素養有著非常重要的意義。在實際教學活動中，為了追求好的“成績”，許多教師一味灌輸用“算術方法”解答問題，忽視了用方程知識解決問題的能力的培養，更談不上探索解題的技巧了，嚴重阻礙學生全面、持續地發展，而且嚴重影響了學生后續（初中）對方程知識的學習。因此，加強“列方程策略解題”研究顯得至關重要，下面，筆者談談自己的觀點與做法。

一、巧解“雞兔同籠”問題

我國古代（約1500年前）的數學名著《孫子算經》中記載了一道數學趣味題（“雞兔同籠”問題）。學生在列方程解題的過程中，雖然能從不同角度列出方程，但缺乏解法對比、引導與歸納，出現解方程思維障礙現象（移項問題或負數問題）。此時，教師要善于引導學生發現規律，并進行解法點撥。例：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？思路分析與點撥：假設有x只雞，那么就有（35—x）只兔。依據“雞兔共有94只腳”等量關系，可列出方程：2x+4（35-x）=94，即2x+140-4x=94，等式左邊（2x-4x）與右邊（94-140）出現負數，運用小學所掌握的知識很難求出x的值。假設有x只兔，那么就有（35-x）只雞。依據“雞兔共有94只腳”等量關系，可列出方程：4x+2（35-x）=94，即4x+70-2x=94，等式左邊（4x-2x）和右邊（94-70）都是正數，運用小學所掌握的知識即可求出2x=24即x=12（兔的只數），雞的只數：35-12=23（只）。為了促使解方程的思維暢通，避免解題走彎路，可以直接假設動物腳的只數比較多（兔子的腳比雞的腳多）的為x值。

二、巧解“分數”問題

圖解法是解答“分數或百分數”問題最常用的數學思維方法。大部分稍復雜分數或百分數問題通過畫線段圖變抽象為具體，并且借助線段圖很容易尋找出問題與分率（單位“1”已知的題型）或已知量與分率（單位“1”未知且是所求問題的題型）的對應關系，從而實現用“算術法”解題的目的。在解答分數或百分數的過程中，若遇到難以畫線段圖或畫線段圖難于尋找到量（問題）與率的對應關系，不妨換個角度思考即采用列方程策略解答問題，可以達到“柳暗花明又一村”的效果。例：小明和小亮各有一些玻璃球，小亮的個數比小明少。若把小明個數的給小亮，小亮的個數就比小明多2個。小明原有玻璃球多少個？思路分析與點撥：從“小亮的個數比小明少”和“若把小明個數的給小亮”中，可以看出這兩句只帶分率不帶單位的語句都是“分數”問題的關鍵句，又從“比小明少”和“占小明個數的”中，可以斷定都是把小明看做“單位1”，且單位1”是所求的問題。因此，可以直接假設小明原有玻璃球x個，那么小亮原有玻璃球就有（1-）x個即x個，小明給小亮的個數就有x個，依據“小亮的個數就比小明多2個”關系句，找出等量關系式即“現有小亮的個數-現有小明的個數=2個”，并列出方程：（x+x）-（x-x）=2即：x+x-x=2；依據乘法分配率逆運算“（+-）x”可以很快求出“x=24”，即小明原有玻璃球24個。

三、巧解“平面幾何”問題

將不規則的圖形分割轉化成幾個基本的規則圖形，分別計算它們的面積，相加或相減（相加與相減混合）求出不規則圖形的面積是解答“平面幾何”問題常用的數學思維方法。平移法、割補法、替代法與轉化法是求不規則圖形的面積常采用的解題方法。大部分幾何圖形，按照常規方法或特殊方法都能找到解題策略。然而，有個別“平面幾何”問題解答時需另辟蹊徑，采用列方程策略解答問題，才能達到解題目的。如：用五個相同的長方形拼成右圖，經測量，這個大長方形的周長是88厘米，這個圖形的面積是多少平方厘米？思路分析與點撥：設小長方形的寬為x厘米，那么小長方形的長就有x，依據“大長方形的周長是88厘米”等量關系，可列出方程：（4x+x）×2=88即4x+x=44，再依據乘法分配率逆運算可求出“x=8”的值；則可求出大長方形的長：3x=3×8=24厘米，大長方形的寬：x+x=8+×8=20厘米，那么大長方形的面積為24×20=480平方厘米。為了拓寬解題思路，也可以設小長方形的長為x厘米，那么小長方形的寬就有x厘米，依據“大長方形的周長是88厘米”等量關系，可列出方程：（3x+x）×2=88即3x+x=44，依據乘法分配律（逆運算），可求出“x=12”；則可求出大長方形的長：12×2=24厘米，大長方形的寬：12×+12=20厘米，大長方形的面積：24×20=480厘米。

四、巧解“立體幾何”問題

有些“立體幾何”問題的數量關系比較復雜、抽象，若用常規思維習慣（算術方法解）解題，常出現解題很困難甚至無法解答。這時，如果我們改變一下思路，采用方程求解的思想求有關圖形的體積，就會得到事半功倍的效果。如圖1-1所示，有一塊長方形鐵皮，利用圖中陰影部分剛好能做成一個油箱，求油箱的容積（接頭處忽略不計）。思路分析與點撥：解答此題所需要的條件（半徑與高）隱藏在圖文并茂中，解答的關鍵是用字母代替題中的未知數，找出已知數與未知數間的相等關系列方程。解：設油桶半徑為ｒ cm，則高為4ｒ cm。依圖意可列方程并求解：2πｒ+2ｒ=16.56，ｒ×（2+2π）=16.56，ｒ×8.28=16.56，ｒ=2，4ｒ=8。可求油桶的容積：3.14×22×8=100.48cm3。如果把此題的已知條件（能做成一個有蓋有底的油箱）改為能做成一個無蓋的油箱，如圖1-2所示，同理（“方程”求解法）依圖意可列方程：2πｒ+2ｒ=16.56，求得：半徑ｒ=2，油桶的高2ｒ=4，油桶的容積：3.14×22×4=50.24cm3。

五、巧解“比例”問題

應用正、反比例知識解決問題的常規方法：一、找。讀題理解題意，并尋找出兩組對應的數據（正比例題型中一般會出現“照這樣計算或照這樣的速度等”，反比例題型中一般會出現“原來怎么樣，現在怎么樣”）；二、判。寫出兩種相關聯的量與不變量的關系式，若是比值（商）一定則兩種相關聯的量成正比例，若是積一定則兩種相關聯的量成反比例；三、列。假設未知數為x，根據正或反比例的意義列出方程；四、算。解方程，檢驗并寫答語。大部分“比例”問題通常按照常規步驟都能很快求出答案。然而，有部分“比例”問題出現“第二組數據沒對應”現象，此時直接假設題中問題為未知數x的值解答很難達到解題的目的，必須尋找巧設問題列方程解答途徑。如：工廠原計劃每天生產零件120個，45天完成，實際每天多生產30個，這樣可以提前幾天完成？（用比例解答）思路分析與點撥：此題的問題（提前的天數）與條件（每天多生產的個數）沒對應數據，若直接假設提前天數為未知數x，很難找到提前天數所對應的生產零件的個數，解題時應把問句中“提前”刪改為：“這樣可以幾天完成”（實際生產天數），再找出與實際生產天數相對應的實際每天生產零件的個數（120+30=150）。解：設這樣可以x天完成。因為：工作效率×工作時間=工作總量，工作總量一定也就是工作效率與工作時間的積一定;所以工作效率和工作時間成反比例。依據“工作總量一定”，可列出方程：（120+30）x=120×45，并求出“x=36”和提前天數45-36=9（天）。同理，若出現問句中求增加部分，解題時應把問句中“增加”（多）或“比……多”文字刪掉，假設實際部分為未知數x。

六、巧解“錢數”問題

對于求兩個或兩個以上未知數的應用題，有些題目按照常規解法（假設一個未知數為x）是無法達到解題目的的。此時，可以采用“消元法”解決問題，即假設兩個未知數分別為a和b，并根據等量關系列出兩個方程，先設法消去一個未知數使其剩下一個未知數，最后再求出消去的那個未知數。如：小明、小華兩人各帶了若干錢，如果小明得到小華所有錢的,那么小明共有錢60元。如果小華得到小明所有錢的,那么小華也共有錢60元。小明、小華兩人各帶了多少元錢?思路分析與點撥：設小明帶有錢a元，小華帶有錢b元。依據題意可列出方程式：①a+b=60，②a+b=60。若將①式中的各數都擴大2倍，將②式中的各數都擴大3倍，它們就會變成：③2a+b=120，④2a+3b=180。再用“消元法”（用④式減去③式）消去一個未知數——小明的錢數，可求得小華的錢數：2b=60即b=30，把b=30值代入①式中，可列出求小明錢數的方程式：a+×30=60，并求出a=45。若將①式中的各數都擴大6倍，將②式中的各數都擴大3倍，它們就會變成：③6a+3b=360，④2a+3b=180。再用“消元法”（用③式減去④式）消去一個未知數——小華的錢數，可求得小明的錢數：4a=180即a=45，把a=45代入①式中，可列出求小華錢數的方程式：45+b=60，并求出b=30。

總之，遇到難于解決的數學問題時，可指導學生嘗試運用“列方程的策略”解決問題，不但能使學生茅塞頓開、輕松破題，并為今后解答抽象、繁難問題打下良好的基礎，而且能提高學生靈活運用知識解決實際問題的能力。