析疑三則

曹慧

關于角的知識，國標本蘇教版小學教材具體編排在二年級下冊與四年級上冊。如果說二年級下冊是緊密聯系小學生熟悉的生活實際，借助直觀、形象地描述角，初步地認識角，那么四年級上冊是在認識直線、射線的基礎上，靜態地畫出角，深入一步地認識角，并學會度量角，進而體現角的一些簡單運用。作為教材的延伸，中學數學還有一個從運動的觀點動態地生成角（且有正、負角之分）、應用角的過程。就小學階段，筆者從校內外的聽課活動中發現，相當一部分學生以及少數教師（多為年輕教師），在角的教與學中或多或少存在一些模糊觀念或者似是而非的認識，由此給角的學習蒙上陰影，帶來負面影響。現選三例作淺析：

問題1 生活中所說的“角”就等于教材中所教的角？

平時生活中所說到的具體實物上的“角”與我們課本所討論的平面上的角不完全是一回事。比如課堂上會被舉到的：①三角尺上有三個“角”；②教室的門上有四個“角”；③小欣課間玩鬧時不小心碰到了講臺的“角”上，流了血。以上三例中所列舉的“角”，從某種意義講，都只能稱作生活中的“角”，而不是教材中要認識的角。這一點，畫出圖形就清楚了：三角尺上的“角”如圖①所示，而教室門的“角”或講臺的“角”如圖②所示：

顯然，它們都是空間的“角”，而在這些“角”的不同平面上所呈現出的角，才是我們要研究的角，所以不能把它們混為一談。

又如，二年級上冊教材中出現的剪刀上的“角”以及鐘表的時針與分鐘形成的“角”，用它們引出角，優點是熟悉、直觀、逼真，還可展示其大小。不過缺點也明顯：角的本質的東西與非本質部分并存，而且后者更具有顯眼的優勢（如剪刀的握把、刀刃以外的刀背，時分針的重疊處和兩針的粗細、長短不一等等），同時還難體現角的邊的可延伸性。教學中必須由教師作形象的比劃和引導，否則往往會喧賓奪主，影響認知。

可見，教材或舉例中所碰到的這些生活中的“角”，一方面要求教師注意表述分寸，配合以到位的體態語言揭示其實質，接下來十分重要的教學環節是把這些實物上的“角”，通過刪繁就簡，設想延伸，突出本質，巧妙地抽象出來，轉化為平面上的角。（如下圖）進而在平面進一步認識它們。

千萬不能就事論事，把生活中所列舉的“角”不加區別地當成教材中要討論和認識的角，從而給學生的學習帶來不良影響。在此筆者還想順便指出，有不少版本的教材都有用疊扇圖作為角的例子，但通過聽課和推敲發現，此例用在角的啟蒙認識中，弊大于利。扇子的握把偏離角的頂點，扇子兩側的主龍骨并不像角的兩條邊，尤其是扇子中間的可放縮疊面更干擾著學生的認知。拿它作角時，很多學生顯得一臉的困惑與無奈。一句話，將折疊扇表示角遠離了角所凸顯的本質。

問題2 最大的銳角是89°？

二年級下冊教材從正方形的角，紙工袋的角和三角尺上面一個最大角分別“移出”原圖形，畫在平面上成下圖：

并指出：這三個角都是直角。再用時鐘上的時針與分針所成的角與直角來做大小比較，并描述：①（比直角小的）銳角，②（比直角大的）鈍角，到四年級上冊，能用量角器度量角的大小之后，通過量化提升對這些角的認識：直角是90°，銳角小于90°，鈍角大于90°而小于180°。

認識至此，在討論中有學生發問：“老師，銳角小于90°，那銳角有沒有最大的，89°角是不是最大的銳角？”師先是一愣，后讓學生討論。學生議論紛紛：“89°角是最大的銳角！因為后面就是90°的直角了。”“老師，我認為還有最小的銳角，是1°的角！”“不對，0°才是最小的銳角，本來最小的自然數是1，現在是0了！”“0°哪兒還有角？看都看不見了，還是銳角？”“老師，量角器上是沒有小數，不知角的度數可以是小數嗎？如果可以，我覺得還有比89°大的銳角！”討論很熱烈，思維很活躍，各抒己見，莫衷一是。為不占過多的課堂時間，幾分鐘后，教師小結：“大家討論得很認真，很熱烈，這個問題我們到中學里還要深入學習，就小學階段，從整數的角度講，認為最大的銳角是89°，最小的銳角是1°，也說得通。但0°角不是銳角。這樣講，大家認可嗎？”“認可。”原先持此意見的同學認可得很響亮。一場不小的爭論在老師既顯權威又難完全服眾的總結中結束。

看來，老師備課中對此并未準備，數學功底也有些欠缺，因此面對課堂的突然生成，只好自圓其說地結束討論。不過，課后教師或許會去做學習探究，充實修正自己的說法，亦可姑稱教學相長，不是壞事。其實，從數學角度說：“是否存在最大（小）的銳角（鈍角也一樣），已經涉及無限的問題了，當然答案是確定的：不存在最大（小）的銳角（或鈍角）。

問題3 平角就是一條直線、周角就是一條射線？

一次，教師讓學生在紙上畫一個平角和一個周角，展示中發現，學生的作品主要有圖①和圖②兩類：

師皆認可，并指出圖①中的平角與周角的頂點已具體標出；圖②中盡管沒有標出角的頂點，但直線上有無數個點，每一個點都可以作為平角的頂點，而射線的端點，無論標出與否都客觀存在，也就是說周角的頂點也存在著的。然而，筆者不太同意這種說法，作為凸顯平角、周角特征的角的頂點，還是具體標出更為直觀且清楚，尤其對初學者而言，無疑是增加了踏實與確定感。

事實上，筆者在自己的教學中以及聽課中也不止一次碰到有些學生認為“平角就是一條直線！直線也是一個平角！”“要是角的頂點不標出，平角和直線是一回事！”還有“射線就是一個周角！周角也可以看做一條射線！”“一條直線上能有兩個平角！”等，如此說法，或許與我們平（周）角教學的表述與要求有關，與學生對直線、射線、平角、周角的認識不到位也有關。而不同的說法，關鍵是將不同概念之間的區別給抹殺了，本質被混淆了。這是因為，直（射）線是直（射）線，平（周）角是平（周）角，一個是線，一個是角，名稱不同；名稱所反映的概念的本質也不同；而且各自的生成與組成也不一樣。就小學數學的內容而言：直線是把線段的兩端都無限延長所得到的圖形；射線是把線段的一端無限延長所得到的圖形。而平角是180°的角，它的兩條邊正好在一條直線上；周角是360°的角，并且它的兩條邊正好重合在一條射線上。