正射影像圖坐標轉換快速方法探討

華亮春 陳學工 劉智勇

摘要：本文在分析常用正射影像圖坐標轉換模型的基礎上，提出了使用仿射變換來模擬復雜、計算量大的影像圖坐標轉換，在保證精度的前提下提高轉換速度，具體闡述了轉換基本思路、九點法誤差控制方法和算法流程。

關鍵詞：正射影像圖；快速坐標轉換；仿射變換；平面四參數

隨著航空航天遙感技術和計算機技術的發展，影像圖的空間分辨率越來越高，數據內容越來越豐富，數據量日益龐大，常規的逐像素重采樣轉換速度勢必太慢，而分圖幅或者分區塊平移又不能滿足精度要求。本文將就影像圖坐標轉換基本理論和快速轉換方法進行闡述和分析。

1影像圖坐標轉換模型

測繪成果坐標轉換包括幾何變換和投影變換兩種類型，其中幾何變換多為二維坐標系，三維高程一般要歸化到橢球體和抵償面來考慮；投影變換是基于橢球體參數嚴密的空間坐標變換，包括投影正算和投影反算。影像圖坐標系統一般為平面坐標系統，其坐標轉換模型為二維坐標轉換模型，常用的模型有以下幾種：

1.1 二維七參數模型

二維七參數模型是基于橢球體嚴密的坐標轉換模型，包括三個平移參數、三個旋轉參數和一個尺度參數，適用如全國和省級大區域范圍不同橢球體坐標系統間坐標轉換，具體公式如下：

（1）

其中：

同一點位在兩個坐標系下的緯度差、經度差，單位為弧度，

橢球長半軸差（單位為米）、扁率差（無量綱），

平移參數，單位為米，

旋轉參數，單位為弧度，

m 尺度參數（無量綱）。

1.2 平面四參數模型

平面四參數模型是一種基于二維平面綜合縮放、旋轉和平移三種幾何變換的坐標轉換模型，其特點是不改變原圖形的幾何形狀，適用于范圍不大的局部區域坐標系統間坐標轉換，具體公式如下：

（2）

其中：為平移參數，α為旋轉參數，m為尺度參數。

1.3 仿射變換模型

仿射變換模型和平面四參數模型都是基于二維平面的幾何變換，區別在于平面四參數在X和Y方向縮放比例是一致，是整體性的幾何變換，而仿射變換的縮放比例在X方向和Y方向是不同的。如果設s=1+m,將平面四參數公式（2）展開如下：

（3）

設X方向縮放比例為s1，Y方向縮放比例為s2，則公式3變為：

（4）

設則公式4變為典型的仿射變換公式：

（5）

從上述推導過程看，顯然平面四參數是仿射變換的一種特例，如果原坐標系統和目的坐標系統的公共點存在系統誤差或者局部形變，使用平面四參數轉換公共點會產生較大間隙，這時使用仿射變換就更為適合。仿射變換一般用于糾正原始圖形圖像中存在的誤差、糾正掃描圖紙產生的變形。

1.4 多項式逼近模型

多項式逼近模型采用曲面形態來模擬兩個坐標系統之間坐標點的映射關系，通過若干已知點對采用最小二乘法求解多項式參數，確定曲面起伏形態，求解原坐標值所對應的目標坐標值。二次多項式變換是最常用的一種多項式變換，其公式如下：

（6）

平面四參數模型和仿射變換模型實質都是線性轉換,如果兩個坐標系之間局部性系統誤差或形變較為明顯時,采用二次或者高次多項式逼近則更為精確，能夠消弱兩坐標系統之間的旋轉、平移和地球橢球參數不同引起的誤差, 可以滿足更高的精度要求。從理論上講,只要選擇適當的多項式階數和系數, 就可以逼近到任意的程度, 并且保證點與點之間一一對應的可逆連續轉換的特性。

2影像圖坐標快速轉換方法

2.1 基本思路

正射影像圖的數據主體是一種行列式格網結構體，行列式矩陣結構的特點就是其坐標是按行列以固定值增量變化的，并且對于正射影像圖來說，X方向和Y方向坐標變化量是一般相同的。基于這一特點我們可以找一個計算速度快的簡單坐標轉換公式替代計算速度慢的復雜公式。如果單個圖像范圍過大，可以考慮對原圖像按1/4進行矩形劃分后逐區域進行轉換。這種快速的坐標轉換公式需要滿足以下3個條件：

（1）目的x＇坐標或者y＇坐標的變化對于原X坐標和Y坐標的影響是一固定值。設影像地面分辨率為g,a、b、c和d為固定數值，則應滿足如下條件公式：

（7）

（2）滿足接邊精度要求，即分區進行影像圖坐標變換能夠保證邊界上的連續性；

（3）滿足影像圖坐標轉換平面精度要求。

設， 則公式（3）變為平面四參數的線性化形式：

（8）

設kp=k1*k1+k2*k2,則得出公式8的逆向公式9，用于由目的標坐標計算原坐標。

（9）

將公式（9）套入公式（7）中，顯然滿足條件1的要求。類似推導，易得出仿射變換也滿足條件1的要求。

仿射變換具有“保持共線三點的單比不變”等性質，能夠保證圖像在分區邊界上保持原來的連續性，所以能夠保證滿足接邊精度要求。平面四參數是仿射變換的一種特例，自然具有相同的性質，也能夠滿足接邊精度要求。

是否能夠滿足條件（3），需要通過具體計算進行精度評估。當圖像區域范圍過大以至于不能滿足精度要求時，可以采用矩形分區逐步縮小范圍的方式解決。具體來說可以采用如圖1所示的4+5九點法進行參數計算和精度評估，使用原復雜的坐標轉換模型可以計算出高精度的9個同名點坐標對，其中區域四角4個實心黑點用于系數求解，另外中心和四邊5個空心點用于精度評估。如果這5個點的兩種模型計算出的坐標差值都在精度范圍內則表示滿足精度要求，反之則不滿足。

2.2 坐標轉換算法流程

采用4+5九點法進行參數計算和精度評估，其中參數計算可以采用最小二乘法求解，求出影像圖坐標轉換分區范圍。一般來說，如果是標準分幅的影像圖，單幅圖范圍完全能夠滿足精度要求。下面便以平面四參數轉換公式為例，采用自然語言描述分區或者分幅影像圖的快速坐標轉換算法流程如下：

（1）計算目的圖像的范圍，采用與原圖像相同的地面分辨率,計算出其行數->nrow,列數->ncol,計算目的圖像左上角在原影像圖坐標系中的坐標tx,ly；

（2）應用公式（9）和公式（7），計算出ag、bg、cg、dg的值；

（3）i = 0；

（4）lx->x, ty->y；

（5）j = 0；

（6）采用雙線性插值法從原圖像中內插出目的圖像位于i行j列位置的像素值；

（7）j+1->j, x+bg->x, y+dg->y；

（8）如果j小于ncol,轉到步驟6執行，否則轉到步驟9執行；

（9）i+1->i, lx+ag->lx, ty+cg->ty；

（10）如果i小于nrow, 轉到步驟（4）執行，否則,算法結束。

從上述過程中可以看出除了前2步涉及到一次復雜的坐標計算外，其余的步驟都是采用簡單的加法運算代替坐標計算，必然能夠大幅提高程序的運算速度。

3實驗分析

本文選取東經111°～114°、北緯27°30′～28°30′間的區域為實驗區（圖2），在該區域選取18幅1:1000影像圖，影像圖地面分辨率為0.1米，標準的50cm×50cm矩形分幅，其中左邊圖1～9的中央子午線為111°，其余右邊圖10～18的中央子午線為114°。現要將這18幅都換帶為112°30′，分別采用常規高斯投影正反算和平面四參數模擬的投影換帶的方式進行坐標轉換，比較兩種方式的計算精度和運行時間，具體結果見表1。

在使用平面四參數模擬投影換帶進行影像圖坐標轉換時，通過表1中的數據我們可以得出以下結論：

（1）模擬精度高且誤差分布均勻。18幅圖九點法解算系數的最大較差、全圖范圍最大較差和中誤差這3列中的最大誤差值均優于1/200像素，精度非常高，且從表中我們可以看出18幅圖各項誤差值的變化非常小，說明誤差分布很均勻。

（2）平面四參數模擬法提高計算速度在千倍以上。

（3）18幅圖“全圖范圍最大較差”都小于“九點法精度評估最大較差”,從實例證明九點法精度評估能夠預計全圖坐標轉換的誤差范圍，保證影像圖坐標轉換的精度。

4結語

本文闡述了使用仿射變換（包括平面四參數）分幅分區模擬計算量大復雜的影像圖坐標轉換的原理和方法,并通過實例分析證明這種模擬方法能夠極大提高計算速度；九點法精度評估能夠準確計算轉換系數和預計全圖坐標轉換的誤差范圍，保證影像圖坐標轉換的精度。但是由于實際情況多樣性和復雜性，本方法不一定適用于模擬所有的復雜坐標轉換，實際使用時需要進行分析計算來評估是否適用。