與點有關的距離計算

鄧南昌

【摘要】 理解和掌握點到點、點到平面、點到直線的這三類距離的計算，有助于系統地掌握各類關于距離的計算，有助于空間思維水平和代數應用能力的提高.

【關鍵詞】 點到點的距離；點到平面的距離；點到直線的距離

點到點、點到平面、點到直線的距離計算是中學數學的重要內容之一，其他類型的距離都可轉化為這三類中的一種. 下面通過具體例子來了解這三類距離的計算和應用.

一、點到點的距離

設空間直角坐標系中有兩個點（Ｘ１，Ｙ１，Ｚ１）和（Ｘ２，Ｙ２，Ｚ２），則這兩點間的距離為 ■.

例１ 求空間中點（５，２，３）到點（２，１，６）的距離.

解 這兩個點之間的距離為

■ = ■.

點評 兩點間的距離公式是求各類距離的基礎.

二、點到平面的距離

設點Ｐ（ＸＰ，ＹＰ，ＺＰ），有一平面的方程是Ａ（Ｘ － ＸＯ） ＋ Ｂ（Ｙ－ＹＯ） ＋ Ｃ（Ｚ － ＺＯ） ＝ ０或ＡＸ ＋ ＢＹ ＋ ＣＺ ＝ Ｄ，則點Ｐ到該平面的距離為

■ =

■ =

■.

特別地，Ｐ點若是（0，0，0）時，則P到該平面的距離是

■.

例２ 計算原點（0，0，0）到平面Ｘ ＋ Ｙ ＋ Ｚ ＝ １的距離.

解 距離為■ ＝ ■.

點評 兩個平行平面ＡＸ ＋ ＢＹ ＋ ＣＺ ＝ Ｄ１和ＡＸ ＋ ＢＹ ＋ ＣＺ ＝ Ｄ２間的距離可轉化為點到平面的距離，整理得到

■.

又兩條異面直線 ：

X = X1 + Q1T，Y = Y2 + R1T，Z = Z2 + S1T和X = X2 + Q2T，Y = Y2 + R2T，Z = Z2 + S2T間的距離也可轉化為這一類，得■.

三、點到直線的距離

點Ｐ（ＸＰ，ＹＰ，ＺＰ）到直線X = X0 + QT，Y = Y0 + RT，Z = Z0 + ST的距離為

■.

例３ 求點Ｐ（３，５，２）到直線X = 1 + 3T，Y = 6 + 2T，Z = 4 + 8T間的距離.

解 距離為■ =

■ =

■ =

■ = ■ .

點評 兩條平行直線 X = X1 + QT，Y = Y1 + RT，Z = Z1 + ST和X = X2 + QT，Y = Y2 + RT，Z = Z2 + ST間的距離可轉化為■.

理解和掌握上述三類與點相關的距離計算，有助于學生系統地掌握關于距離的計算，特別有助于學生空間思維水平和代數應用能力的提高.