利用“必要條件”解數學題

付宇富

我們在解數學題時經常用到“充要條件”（即等價轉化）與“充分條件”（即由條件得結論），但卻很少注重“必要條件”的應用，本文旨在通過幾例說明“必要條件”在解題中的應用. 一、先求出使得命題成立的“必要條件”，再由題設進一步求出使得命題成立的“充要條件”，從而解決問題

例１ 已知ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x，是否存在實數ｐ，ｑ，使得ｆ（ｘ）的定義域為［ｐ，ｑ］，值域為［2p，2q］？若存在，求出ｐ，ｑ的值.若不存在，說明理由.

分析 按常規解法，要分如下四種情況進行討論：①區間［ｐ，ｑ］在對稱軸ｘ ＝ １的左邊；②區間在對稱軸［ｐ，ｑ］的對稱軸ｘ ＝ １的右邊；③對稱軸ｘ ＝ １在區間［ｐ，ｑ］內，而且１ － ｐ < ｑ － １；④對稱軸ｘ ＝ １在區間［ｐ，ｑ］內，而且１ － ｐ ＞ ｑ － １． 此解法繁索，詳解略．

解 下面先求出使命題成立的必要條件：因為在實數范圍內，ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x的最大值為■，由題意，2q ≤ ■，∴ q ≤ ■（此為命題成立的必要條件），

又∵ ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x的圖像的對稱軸為x = 1，

∴ q ≤ ■ < 1.

∵ ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x在區間［ｐ，ｑ］上遞增，

∴ ｆ（ｐ） ＝ ２ｐ，ｆ（ｑ） ＝ ２ｑ，即－■p2 + p = 2p，－■q2 + q = 2q.

∵ p < ｑ，∴解得ｐ ＝ －２，ｑ ＝ ０（此為充要條件），

∴存在ｐ ＝ －２，q = 0滿足題意．

評注 本題巧解的關鍵是先求出使命題成立的必要條件q ≤ ■，從而避免了繁瑣的討論.

例２ 解不等式：■ < ■.

解析 乍一看來，解這個不等式似乎很難下手，但若先求出使得這個不等式成立的“必要條件”，即使得不等式中的式子都有意義的x的取值范圍：x - 1 > 0且x - 1 ≠ 1，■ > 0且■ ≠ 1， 即x > 1且x ≠ 2（此為不等式成立的必要條件），問題就好解決了. 以下分兩種情況討論：

①當１ ＜ ｘ ＜ ２時，ｌｏｇ２（ｘ － １） ＜ ０，log2■ ＞ ０，

∴ 原不等式成立．

②當ｘ ＞ ２時，ｌｏｇ２（ｘ － １） > 0，log2■ > 0，∴原不等式?圳log2■< loｇ２（ｘ － １）?圳 ０ ＜ ■ ＜ ｘ － １ ?圳 ｘ２ － ３ｘ ＞ ０ ?圳 ｘ ＞ ３或ｘ ＜ ０，∴ x > 3.

綜 上，原不等式的解集為｛x|1 < x < 2或x > 3｝（充要條件）.

二、直接應用“必要條件”解決問題

例３ 函數ｆ（ｘ） = ■是 （ ）.

Ａ． 偶函數 Ｂ． 奇函數

Ｃ． 非奇非偶函數Ｄ． 既是奇函數又是偶函數

解析 首先考慮函數既是奇函數又是偶函數的定義域是否關于原點對稱，而原函數的定義域須滿足cos x + sin x + 1 ≠ 0，解得定義域為｛x|x ≠ 2kπ + ■且x ≠ 2kπ +π，k∈Z｝，而此定義域不關于原點對稱，∴ 選C.

例４ 設θ∈（0，■），則二次曲線x2cos θ - y2 tan θ = 1的離心率的取值范圍是 （ ）.

Ａ． （0，■） Ｂ． （■，■）

Ｃ． （■，■）Ｄ． （■，+∞）

解析 ∵此二次曲線為雙曲線，其離心率的范圍須先滿足必要條件：離心率e > 1，結合被選答案的范圍以及數學選擇題只有唯一答案，應選Ｄ.