如何列方程解應用題

綦冬娟

方程是代數學的核心內容，一元一次方程是最簡單的代數方程，也是初中數學一個重、難點內容. 用列方程法解應用題一直是教師和學生都感到頭疼的內容. 教師要引導學生把實際問題轉化為數學問題來講解，把學生小學時的算術思維轉移到代數思維上來，根據實際問題的設置，建立適當的一元一次方程模型去解決，這樣才能取得事半功倍的效果. 我們學習數學，就是為了解決實際問題，這也是學習數學的出發點和歸宿. 因此，在實際的課堂教學中，教師應該把課堂教學內容與現實生產實踐有機結合起來，教給學生利用所學的數學知識分析和解決實際問題. 那么，一元一次方程又能解決什么樣的實際問題呢？

一、列一元一次方程解應用題的優點

數學重在培養學生的邏輯思維能力. 初中數學與小學數學最大的區別，就是要把學生的算術法解題思維轉變為代數法解題思維方式，讓學生有意識地、習慣地自覺運用代數法列方程解應用題. 在這個階段，可能會有很多同學不適應，因為小學階段，學生已習慣了用算術法解應用題，代數解法對他們來講還是新生事物. 人們總是對新生事物有畏懼感，因此在實際的教學經歷中要通過講解例題，最好是分別用算術法和代數法解答，經過實際的比較，讓同學們認識到列方程的代數解法比算術法有優越性. 經過多次的實際練習，培養學生的代數思維方式，并逐步適應、掌握代數解法. 如以下試題：

例１ 甲乘汽車從Ａ地到Ｂ地去，兩地相距１７０千米，先是以每小時２０千米的速度從Ａ地駛向Ｂ地，４小時后，該汽車改用每小時３０千米的速度行駛，問：他從Ａ地到Ｂ地共需多少小時？

解法一（用算術法解）：

通過對題目的分析，我們知道，已知汽車已行駛４小時的速度是每小時2０千米，那么我們可以求出已行駛的路程，即４ × ２０ ＝ ８０（千米）.又已知Ａ到Ｂ相距１７０千米和現已行駛了８０千米，則還要行駛的路程是１７０ － ８０ ＝ ９０（千米）.４小時后，汽車的時速改為3０千米／小時，則剩下的路程所需的時間是９０ ÷ ３０ ＝ ３（小時）. 那么，他從Ａ到Ｂ地所需的時間是４ ＋ ３ ＝ ７（小時）. 如果要列綜合式，即（１７０ － ４ × ２０） ÷ ３０ ＋ ４ ＝ ７（小時）.

解法二 （用列方程解）如下：

用列方程法解答，首先要找出題中的等量關系，即已行駛路程＋將行路程＝全程，由此可列出方程. 設他乘汽車從Ａ地到Ｂ地共需ｘ小時，則可得出汽車還要行駛（ｘ － ４）小時，那么根據題目中的等量關系式，可列方程４ × ２０ ＋ （ｘ － ４） × ３０ ＝ １７０，解方程，可得ｘ ＝ ７，所以他從Ａ地到Ｂ地共需７小時.

從這道例題的兩種解答中可以清晰地看到，算術法費時、費力，步驟又繁瑣，稍不留意就可能出錯，而利用題中的等量關系列一元一次方程，則思路清晰，簡潔省事得多. 這就是列方程解應用題比用算術方法解應用題優越的地方.

二、培養學生找“相等關系”的能力

列方程解應用題重要的一步是列方程，而列方程最重要的是分析題目和已知條件，先設出未知量，把未知量當成已知量參與運算，從中找出相等關系，進而列方程. 我們常見的這類問題有行程問題、濃度問題、工程問題、增長率問題、稅率問題、等積問題等. 在具體的應用過程中，我們首先要分清題目屬于哪個類型，然后分析已知條件和未知條件，最后找出未知條件和已知條件的等量關系. 這類問題可以利用公式或不變量找出相等關系.

初中階段的數學應用題，經常見到的等量關系式有：（１）行程問題：路程 ＝ 時間 × 速度；（２）濃度問題：溶質 ＝ 溶液 × 濃度；（３）工程問題：工作總量 ＝ 工作時間 × 工作效率；（４）增長率問題：增產量 ＝ 原產量 × 增長率；（５）稅率問題：稅后利息 ＝ 本金 × 存期 × 利率 × （１ － 利息稅）；（６）等積變形問題：變形前的體積＝變形后的體積. 讓同學們了解常見的等量關系式，他們在具體的應用題解答過程中就會變得得心應手. 例如如下例題：

例２ 甲、乙兩班共９０人，期中考試后，由甲班轉入乙班４人，這時甲班人數是乙班人數的８０％，問：期中考試前兩班各有多少人？

分析 由已知甲、乙兩班共９０人，我們可以設甲班是ｘ人，那么乙班是（９０ － ｘ）人，根據題意，如果甲班人轉入乙班４人，則甲班人數是乙班人數的８０％，此時甲班人數為ｘ － ４，乙班為９０ － ｘ ＋ ４ ＝ （９４ － ｘ）人，根據等量關系，可列方程如下：ｘ － ４ ＝ （９４ － ｘ）·８０％，解方程可得ｘ ＝ ４４，即甲班人數為４４人，乙班人數為４６人.

從這道題，我們很清晰地看出，解題的關鍵就是找出相等關系，如果甲班人數向乙班轉４人，則此時甲班人數是乙班人數的８０％. 在課堂教學中，教師要教給學生如何快速而有效地找出題目中的相等關系，并提高根據相等關系列方程的能力.

三、列一元一次方程解應用題的一般步驟

列一元一次方程解應用題的步驟比較固定，一般有這樣幾個步驟：設，列，解，檢，答. 設，就是設未知數，即用一個字母表示題目中所要求得的那個未知數. 這個未知數一般用字母ｘ來表示（這個未知量一般要有單位），在實際列等式或者是運算時，則把它當成一個常數參與運算. 列，就是列方程，即根據題意，找出題目中的等量關系列方程. 解，就是解方程，得出答案. 檢，就是檢查解得的方程答案是不是正確，這是要注意的事，應用題的答案要符合實際情況，不能違背常理. 答，就是寫出正確答案.

總之，列一元一次方程解答應用題是初中階段數學學習的重點，是中學生由算術思維到代數思維的一次重要的轉變. 積極地探索和思考，綜合運用數學基礎知識和基本技能，用列方程解決實際生活和生產實際中的各種問題，正是我們學習數學的意義.

【參考文獻】

［１］章曉敏．列一元一次方程解應用題教學的幾點思考［Ｊ］．科技信息，２０１１（１１）．

［２］練愛群，唐志祥．淺談一元一次方程與問題解決［Ｊ］． 科技信息， ２００９（１３）．