例談分類思想在初中數學課堂教學中的滲透

潘蘭芳

分類思想作為一種數學思想方法具有很強的綜合性、探究性和邏輯性等特點， 能體現學生的數學能力．學生學習分類方法的過程應該是一個數學知識不斷轉化、不斷遷移， 智力技能不斷提升的過程． 而現狀是在數學課堂上學生比較注重對數學知識的學習， 由于能力及心理發展等因素的限制， 往往不能對數學思想方法主動的探索或小結， 更談不上形成系統的分類能力， 他們更多的是憑借自己的經驗和直覺進行分類討論． 要想解決這一問題， 需要教師在課堂教學中結合教材具體內容進行整體規劃， 作出合理安排，不斷滲透分類的思想．

一、在定義教學中滲透分類思想， 促進學生主動建構知識

數學中的定義很多，其中有一部分知識點在定義時就產生了分類，比如幾何中等腰三角形的底角和頂角的分類，等腰三角形的腰和底邊的分類，直角三角形的斜邊和直角邊的分類，不確定的相似三角形中對應頂點的分類，代數中方程、函數的定義等．在此類問題教學時，要讓學生明白分類討論是一種重要的邏輯方法， 也是一種常用的數學思想. 當問題所給出的對象不宜進行統一的研究和推理時，就只能用分組的形式進行， 對研究對象進行分類后對每一類分別進行研究， 最后綜合各類的結果得到整個問題的結果． 這種思想可以化整為零， 把復雜的問題轉化為單一問題， 便于各個擊破， 它可以培養學生思維的條理性和概括性， 提高學生分析問題和解決問題的能力．

典型例題１：

（１）已知等腰三角形的兩邊長分別是４和６，那么它的周長是 ；

（２）在平面直角坐標系中，已知點Ａ（４，０），Ｂ（４，１０），點Ｃ在ｙ軸上，且△ＡＢＣ是直角三角形，則滿足條件的Ｃ點的坐標為 ；

（３）當ａ 時，關于ｘ的方程ａｘ２ ＋ ２ｘ － ６ ＝ ０有解；

（４）函數ｙ ＝ ｍｘ２ ＋ ｘ － １與ｘ軸只有一個交點，求ｍ的值與交點坐標．

本例的分類思想還是很明確的，雖然問題的提問方式并沒有對定義的分類內容進行解釋，但題意本身卻要求學生在解題的時候，根據定義的分類要求進行合理的分類， 所以學生還是很容易掌握分類和討論的方法. 此例旨在滲透分類思想概念， 并促成學生逐步形成分類意識．

二、在圖形形狀、位置不確定時，由淺入深滲透分類思想

初中數學分類討論的涉及面比較廣， 如何由淺入深進行分類思想的滲透， 是讓學生真正掌握分類思想的重要過程．因此在教學中要研究分類思想的相關特征， 及時有效地進行分類思想的滲透教學． 圖形形狀、位置不確定是分類的重要特征，如不確定的三角形的銳角、鈍角與直角的分類，兩圓相切存在內切和外切的分類，圓中兩條平行弦在圓心同側和異側的分類等，此類問題多且復雜隱蔽，很多情況下的分類是學生意想不到的，因此往往導致遺漏，即分類不全．

典型例題２：

（１）已知⊙Ｏ的直徑為１０，弦ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ ＝ ６，ＣＤ ＝ ８，則ＡＢ與ＣＤ之間的距離為 ；

（２）已知⊙Ｏ１與⊙Ｏ２相切，⊙Ｏ１的半徑為９厘米，⊙Ｏ２的半徑為２厘米，則Ｏ１Ｏ２的長是 ；

（３）已知二次函數ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ２， 當－ ４ ≤ ｘ ≤ ５ 時， 求函數的最大值和最小值．

該例中（１）題要考慮兩條平行弦在圓心同側還是異側，（２）題要分兩圓內切、外切兩種情形，（３）題是由二次函數對稱軸位置的變動引發的分類討論．在教材中類似以上可以進行分類的內容還有很多， 對于這類問題在新課學習中要不斷練習強化， 不斷積累，不斷總結，使學生的分類討論思想在螺旋式上升過程中得以形成．

三、在運動中滲透分類思想，使其在學生頭腦中得到升華

點在線段、射線、直線及折線上運動時在不同的位置產生的分類，圖形運動中構成相應圖形不同情況的分類等．此類問題的主要特點是點或圖形在運動，由于運動產生了不同的情況．

典型例題３：

如圖，Ｐ為正方形ＡＢＣＤ的對稱中心，Ａ（０，３），Ｂ（１，０），直線ＯＰ交ＡＢ于Ｎ，ＤＣ于Ｍ，點Ｈ從原點Ｏ出發，沿ｘ軸的正半軸方向以每秒１個單位的速度運動，同時，點Ｒ從Ｏ出發沿ＯＭ方向以每秒■個單位的速度運動，運動時間為ｔ. 求：

（１）Ｃ的坐標為；

（２）當ｔ為何值時，△ＡＮＯ與△ＤＭＲ相似？

（３）△ＨＣＲ的面積Ｓ與ｔ的函數關系式，并求以Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｒ為頂點的四邊形是梯形時ｔ的值及Ｓ的最大值．

此題考查的就是點的運動問題，在仔細分析題意的同時，要求將點運動的過程與圖相結合，明確點運動的情形如何，整個過程產生了哪些情況，從而也就確定了分類的情況和分類的依據了.

經過長期的演練， 學生對數學分類討論思想有了一定的認識， 學生的綜合解題能力也有了一定的提高． 當然還有很多值得注意的細節，并需教師能夠針對學生的常見錯誤加以小結，促使學生注意數學的嚴謹性和邏輯性，培養思維的條理性、縝密性、科學性．

分類討論作為一種思想方法， 僅憑一兩節課或幾個例子的講解， 就想達到讓學生完全接受和掌握是不可能的． 如果單純強調分類思想， 而忽略基礎知識的教學， 會使教學流于形式， 成為無源之水， 無本之木， 學生也難以領略到分類思想的真諦． 分類思想的教學應與整個基礎知識的講授融為一體，而這需要一個長期的、系統的訓練過程，對癥制定分類思想滲透方案進行逐步滲透， 這是我們學習數學所追求的目標之一．