三角形三邊關(guān)系定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

于開祥

【摘要】 筆者針對三角形三邊關(guān)系定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做一一的總結(jié)，希望能夠給學(xué)習(xí)這個定理的人有一定的幫助.

【關(guān)鍵詞】 三角形三邊關(guān)系定理；數(shù)學(xué)

一、定理及其推論

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊. 定理分析：無論是定理還是推論都有“任意”二字，所以定理和推論都包含三項內(nèi)容，用ａ，ｂ，ｃ表示三角形的三邊，則定理可以表示為：ａ ＋ ｂ ＞ ｃ，ａ ＋ ｃ ＞ ｂ，ｂ ＋ ｃ ＞ ａ；推論則表示為：ａ － ｂ ＜ ｃ，ｂ － ｃ ＜ ａ，ｃ － ａ ＜ ｂ．而我們在實際應(yīng)用時往往不需要考慮那么多，只需將定理和推論簡化為ａ － ｂ ＜ ｃ ＜ ａ ＋ ｂ（假設(shè)ａ ＞ ｂ），應(yīng)用時只需抓住兩條邊來驗證第三邊即可. 具體的應(yīng)用參考下面的例題.

二、定理的應(yīng)用

1. 判斷三條線段是否可以構(gòu)成三角形

例１ 下列幾組線段中，不能構(gòu)成三角形的是 （ ）.

Ａ． ３，４，５ Ｂ． ２，４，６ Ｃ． ５，６，８ Ｄ． ７，１０，１５

解法分析 下面我們以Ａ選項為例來詳細(xì)說明定理的使用，首先我們?nèi)我獾娜〕鰞蓷l線段，不妨我們?nèi)。澈停矗缓蟾鶕?jù)定理我們作出４ － ３ ＜ ｃ ＜ ３ ＋ ４，結(jié)果為１ ＜ ｃ ＜ ７，最后我們來驗證第三條邊是否在ｃ的范圍內(nèi)，如果在，則能構(gòu)成三角形，如果不在，則不能構(gòu)成三角形，此題顯然１ ＜ ５ ＜ ７，因此可以構(gòu)成三角形. 答案為Ｂ.

例２ 以４厘米、８厘米、１０厘米、１２厘米四根木條中的三根組成三角形，可以構(gòu)成的三角形的個數(shù)是 （ ）.

Ａ． １ Ｂ． ２Ｃ． ３ Ｄ． ４

解法分析 四根木條選３根有四種情況：４ 厘米，８厘米，１０ 厘米；４厘米，８厘米，１２厘米；４厘米，１０厘米，１２厘米；８厘米，１０厘米，１２厘米．由三角形三邊關(guān)系定理知，以１２厘米、８厘米、４厘米不能構(gòu)成三角形，其他3種情況均符合題意，因此能構(gòu)成三個三角形，故選擇Ｃ.

說明 實際上判斷能否構(gòu)成三角形的條件和根據(jù)已知兩邊判斷第三邊的取值范圍是一樣的，因此在這里就不一一敘述了.

2. 判斷三點是否共線

三角形三邊關(guān)系定理的主要內(nèi)容是描述構(gòu)成三角形的條件，那么如果不能構(gòu)成三角形會是什么情形呢？其中就包括三點共線的情況，當(dāng)ａ － ｂ ＜ ｃ ＜ ａ ＋ ｂ中等號成立時，恰好就是三點共線的情況，即當(dāng)ａ － ｂ ＝ ｃ（假設(shè)ａ ＞ ｂ）或ｃ ＝ ａ ＋ ｂ時，ａ，ｂ，ｃ三條線段共線.

例３ 已知Ａ，Ｂ，Ｃ三點，且ＡＢ ＝ ３，ＢＣ ＝ ４，ＡＣ ＝ ７． 判斷這三點是否在一條直線上？

解法分析 根據(jù)題意，顯然有３ ＋ ４ ＝ ７，所以這三點共線. 需要說明的是，ａ － ｂ ＝ ｃ和ｃ ＝ ａ ＋ ｂ本質(zhì)上是一樣的，因為３ ＋ ４ ＝ ７可以表示為３ ＝ ７ － ４ ．

3. 與三角形周長相關(guān)，尤其是等腰三角形的周長

例４ 等腰三角形ＡＢＣ兩邊的長分別是７和４，則三角形的周長為 （ ）.

Ａ． １8Ｂ． 1５ Ｃ． １１ Ｄ． １8或1５

解法分析 因為是等腰三角形，所以首先要判斷７和４哪個是腰，哪個是底，因此要進(jìn)行分類討論. 把所有的可能都列舉出來：７，７，４和７，４，４，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理來驗證，結(jié)果兩種情況都符合，故答案為Ｄ.

例５ 等腰三角形ＡＢＣ兩邊的長分別是一元二次方程ｘ２ － ６ｘ ＋ ８ ＝ ０的兩根，則這個等腰三角形的周長是 （ ）.

Ａ． ８ Ｂ．１０Ｃ． ８或１０ Ｄ． ６

解法分析 解法同例題４，不同的是兩種組合分別為４，４，２和４，２，２，符合條件的只有４，４，２，故答案為Ｂ. 需要說明的是，因為關(guān)于周長的問題不僅僅限于等腰三角形，但由于等腰三角形具有典型性，因此在這里舉例說明.

4. 證明線段的不等關(guān)系

例６ 如圖１，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ邊上的任意一點，求證：ＡＢ ＋ ＢＣ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ.

證明 在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，∵ ＡＢ ＋ ＢＤ ＞ ＡＤ，ＡＣ ＋ ＣＤ ＞ ＡＤ，∴ ＡＢ ＋ ＢＣ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ．

變式 如圖１，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ邊上的中點，求證：ＡＢ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ.

證明 延長ＡＤ到Ｅ點，使得ＡＤ ＝ DＥ，連接ＢＥ和ＣＥ，如圖２，因為ＡＤ和ＢＣ互相平分，所以四邊形ＡＢEC是平行四邊形，因此ＡＣ ＝ ＢＥ.

在△ＡＢＥ中，ＡＢ ＋ ＢＥ ＞ ＡＥ，

又∵ ＢＥ ＝ ＡＣ，ＡＥ ＝ ２ＡＤ，∴ ＡＢ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ.

５. 判斷兩個圓的位置關(guān)系（創(chuàng)新應(yīng)用）

上述的幾種情況是在初中數(shù)學(xué)中常見的三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用. 我們都知道兩圓的位置關(guān)系有６種，主要是根據(jù)兩圓半徑ｒ１，ｒ２和圓心距ｄ三者之間的關(guān)系來判斷的. 如何把它們和三角形的三邊關(guān)系聯(lián)系起來呢？我是這樣做的，如圖３，以兩圓相交為例. 當(dāng)兩圓相交時，這三條線段剛好構(gòu)成一個三角，顯然滿足三角形三邊關(guān)系定理，即ｒ２ － ｒ１ ＜ ｄ ＜ ｒ１ ＋ ｒ２（假設(shè)ｒ２ ＞ ｒ１），而當(dāng)兩圓相切時，恰好對應(yīng)等號成立時，如圖２所示. 為了使應(yīng)用的更加方便，我們可以用數(shù)軸來表示兩圓的位置關(guān)系，如圖４.

在判斷兩圓的位置關(guān)系時，只需抓住數(shù)軸上的兩點即可，然后看圓心距在數(shù)軸上的位置就可以一目了然地判斷出兩圓的位置關(guān)系，具體的使用參照下面例題.

例7 已知兩圓的半徑分別為３和４，圓心距取下列何值時兩圓相交？（ ）

Ａ. 6Ｂ. 7Ｃ. 8Ｄ. 9

解析 套用三角形三邊關(guān)系定理，有４ － ３ ＜ ｄ ＜ ４ ＋ ３，可知圓心距在１～７之間的時候為相交，所以答案為A.