例說(shuō)“長(zhǎng)方形面積”在數(shù)學(xué)中的妙用

嚴(yán)旭峰

數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本概念，全部數(shù)學(xué)可以說(shuō)就是圍繞這兩個(gè)概念的提煉、演變、發(fā)展而逐步展開(kāi)的. 數(shù)與形之間的關(guān)系反映事物兩個(gè)方面的屬性，而數(shù)形之間的結(jié)合，是指數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合就是把抽象難懂的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀形象的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，起到優(yōu)化解題途徑的目的. 將非面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面圖形面積的方法去解決問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合的有力體現(xiàn)，是一種新穎別致、行之有效的解題方法.

一、“面積”求解應(yīng)用題

例１ 體育場(chǎng)內(nèi)有一塊長(zhǎng)２０米、寬１０米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地，整塊場(chǎng)地被分隔成１米寬的逐漸向場(chǎng)地中心回繞的跑道，如圖１.問(wèn)：從場(chǎng)地入口沿跑道中心線跑到終點(diǎn)要跑多少米？

解析 如果逐段求長(zhǎng)，較為麻煩. 揣摸題意發(fā)現(xiàn)：人每走一米，他所走的跑道恰好被一單位正方形所覆蓋，并且在拐角處也是如此. 所以，長(zhǎng)方形場(chǎng)地的面積數(shù)值就是全程需要跑的距離，即２０ × １０ ＝ ２００（米）.

例２ 一人騎自行車從甲地到乙地，如果每小時(shí)行１０千米，則下午１時(shí)到達(dá)；如果每小時(shí)行１５千米，則上午１１時(shí)到達(dá). 現(xiàn)在要求中午１２ 時(shí)到達(dá)，他每小時(shí)要行多少千米？

解析 用長(zhǎng)方形的邊分別表示速度和時(shí)間，那么長(zhǎng)方形的面積值表示的就是相應(yīng)的路程值. 圖２中，長(zhǎng)方形ＡＢＣＤ和ＡＥＦＧ的面積都表示甲、乙兩地間的路程，它們的面積相等，兩個(gè)陰影部分的面積也相等，則能較容易地列式求解. 如圖２所示，則１０ × ２ ÷ （１５ － １０） ＝ ４（小時(shí)），１５ × ４ ÷ （４ ＋ １） ＝ １２（千米），所以，他每小時(shí)要行１２千米.

例３ 一個(gè)筑路隊(duì)原計(jì)劃２０天修完一條公路，實(shí)際每天比原計(jì)劃多修４５米，提前５天完成任務(wù). 原計(jì)劃每天修路多少米？

解析 以長(zhǎng)方形的一邊表示每天的工作量，另一邊表示工作時(shí)間，那么相應(yīng)長(zhǎng)方形的面積表示總工作量. 因?yàn)楣ぷ骺偭渴且欢ǖ模栽谠?jì)劃和實(shí)際所表示的兩個(gè)長(zhǎng)方形中去掉公共部分的長(zhǎng)方形后余下的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等，由此可求得原計(jì)劃每天修路多少米. 如圖3所示， ４５ × （２０ － ５） ÷ ５ ＝ １３５（米）.

例４ 五年級(jí)一班舉行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共１５道題，每做對(duì)一題得１０分，做錯(cuò)一題倒扣４分. 李麗１５道題全做了，但只得了９４分，她做對(duì)了幾道題？

解析 以長(zhǎng)方形的一邊表示做對(duì)或做錯(cuò)的題數(shù)，另一邊表示每道對(duì)題或錯(cuò)題的分?jǐn)?shù)，那么相應(yīng)長(zhǎng)方形的面積表示做對(duì)或做錯(cuò)的題的總分?jǐn)?shù)，如圖4所示. 這樣，就可知道面積Ａ－面積Ｂ ＝ ９４，且（Ａ ＋ Ｃ） － （Ｂ ＋ Ｃ） ＝ ９４（分）. 而Ｂ ＋ Ｃ ＝ ４ × １５ ＝ ６０（分），從而Ａ ＋ Ｃ ＝ ９４ ＋ ６０ ＝ １５４（分），Ａ ＋ Ｃ所組成的長(zhǎng)方形寬是１４，則長(zhǎng)為１５４ ÷ １４ ＝ １１，即為做對(duì)題數(shù).

二、“面積”求解計(jì)算題

例５ 計(jì)算：（１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） － （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■）.

解析 把每一個(gè)因數(shù)都看作長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)挘敲磧蓚€(gè)乘積就對(duì)應(yīng)兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，算式中所求的差就是兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之差，如圖5.

長(zhǎng)方形ＡＣＤＥ的面積 ＝ （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■），長(zhǎng)方形ＦＭＮＥ的面積 ＝ （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■），長(zhǎng)方形ＢＣＨＧ的面積 ＝ 長(zhǎng)方形ＨＭＮＤ的面積 ＝ ■ × （■ ＋ ■ ＋ ■），則（１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） － （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■）

＝ 長(zhǎng)方形ＡＣＤＥ的面積－長(zhǎng)方形ＦＭＮＥ的面積

＝ 長(zhǎng)方形ＡＣＨＦ的面積－長(zhǎng)方形ＨＭＮＤ的面積

＝ （長(zhǎng)方形ＡＢＧＦ的面積＋長(zhǎng)方形ＢＣＨＧ的面積） － 長(zhǎng)方形ＨＭＮＤ的面積

＝ 長(zhǎng)方形ＡＢＧＦ的面積（陰影部分）

＝ １ × ■＝ ■.

例６ 計(jì)算：■.

解析 算式可變形為■，這樣，分子就可看作兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之差，分母可看作兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，根據(jù)分子與分母所表示的面積大小，便能算出分?jǐn)?shù)的值，如圖6.

１９９７ × １９９８ － １

＝ １９９７ × １９９８ － １ × １

＝ 長(zhǎng)方形ＡＣＤＦ的面積－正方形ＢＣＭＨ的面積

＝ 六邊形ＡＢＨＭＤＦ的面積，

１９９７ ＋ １９９６ × １９９８

＝ １９９７ × １ ＋ １９９６ × １９９８

＝ 長(zhǎng)方形ＡＢＨＧ的面積 ＋ 長(zhǎng)方形ＧＭＤＦ的面積

＝ 六邊形ＡＢＨＭＤＦ的面積，

所以，■ ＝ １.

三、結(jié)論

由此可見(jiàn)，運(yùn)用長(zhǎng)方形面積解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造圖形和解讀圖形. 構(gòu)造結(jié)構(gòu)恰當(dāng)?shù)膱D形，可以使要解決的問(wèn)題形象化、直觀化，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，通過(guò)求解圖形的面積達(dá)到求解的效果. 但是，它不是萬(wàn)能的，它只是解決部分問(wèn)題，而不是全部問(wèn)題，所以我們不能寄希望通過(guò)這種方法解決所有數(shù)學(xué)問(wèn)題. 作為教師，在平時(shí)教學(xué)中如何有意識(shí)地去滲透數(shù)學(xué)思想，如何根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際嘗試滲透，讓學(xué)生在訓(xùn)練中感悟數(shù)學(xué)思想，豐富思維活動(dòng)，提高思維能力，是我們每個(gè)教師需要經(jīng)常思考的問(wèn)題.