以“問題串”的形式把數學“讀”起來

詹建國

【摘要】 閱讀是自學的主要形式，是自學的核心，閱讀能力是學生終身發展的必備能力． 具備了閱讀能力，學生今后可以從工作需要出發，獨立有效地從浩瀚的書本中去尋找和獵取大量必要的知識．本文列舉了概念辨析課、公式推導課、定理證明課、習題課四種課型下的閱讀能力的培養途徑，供大家參考．

【關鍵詞】 閱讀能力；問題串

數學閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，包括對數學語言（文字、數學符號、公式、圖表等）的感知和認讀，對新概念的理解和記憶．但數學語言的符號化、邏輯性、嚴謹性和抽象性等特點，決定了數學閱讀不同于其他語言的閱讀，它需要學生全身心的投入，需要認真、細致地讀懂每個符號、名詞術語、圖表等，領會其內涵．但是，現行教材的編寫大都以解題的形式呈現，在一定程度上省略了數學推理的過程，這就要求學生邊讀邊思，要有積極的思維活動，更需要教師的閱讀指導．

一、層層逼近——“串”問題，理解數學概念

數學概念的閱讀，要理解概念的內涵和外延，更要排除概念的非本質屬性，提煉概念的本質屬性．

案例１ 在浙教版八下２．１節“一元二次方程”課堂閱讀指導中，筆者設計了這樣一組問題串：

（１）一元二次方程的概念是怎樣定義的？

（２）對于系數ａ，ｂ，ｃ有什么要求？為什么？

（３）判斷下列方程是否為一元二次方程：

① １０ｘ２ ＝ ９；② ２（ｘ － １） ＝ ３ｘ；③ ２ｘ２ － ３ｘ － １ ＝ ０；④ ■ － ■ ＝ ０；⑤ ２ｘ２ ＋ ３ｘ － １；⑥ ■ｘ２ ＋ ２ － ３ｘ ＝ １；⑦ ｘ２ ＝ －１．

通過以上閱讀指導，讓學生領會一元二次方程的本質屬性是：首要條件是一個等式，其次要具備三個條件：（1）方程兩邊都是整式；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數為２次．剔除非本質屬性：（1）有沒有一次項或常數項；（2）是否按未知數的次數從高到低排列；（3）是否有實數解．學生只有抓住概念的本質屬性，不受非本質屬性的影響，才能真正理解數學概念．

案例２ 在浙教版七上２．５節“有理數的乘方”一課中，筆者設計了４個問題的課堂閱讀提綱，學生帶著問題對課本進行仔細閱讀：（１）什么叫乘方？什么叫冪？兩者有何區別與聯系？（２）a5表示什么意思？指出其底數、指數、冪．（３）９４有幾種讀法？（４）－２２與（－２）２相等嗎？－２３與（－２）3呢？為什么？由此發現什么規律？這四個問題解決了，那么“乘方”的概念也就比較清楚了．

實踐證明，通過對數學概念的層層逼近，指導學生帶著問題研讀概念，學生才能真正理解數學概念，從而在作業與考試中，不會出現由于粗心、不仔細而造成的失分．

二、題題變式——“變”問題，掌握數學公式

數學公式是整式乘法法則的下位，是一般法則形式下特殊形式的表現．因此，在指導學生閱讀教材時不僅要讓學生明晰公式的結構特征，也要讓學生理解乘法公式的地位、作用以及研究這類問題的方法．

案例３ 在浙教版七下５．４節“平方差公式”教學中，教材先給出一組整式計算試題：

（１）（ａ ＋ ２）（ａ － ２） =.

（２）（３ － ｘ）（３ ＋ ｘ） ＝．

（３） （２ｍ ＋ ２）（２ｍ － ｎ） =.

比較等號兩邊的代數式，它們在系數和字母方面各有什么特點？兩者有什么聯系？

在得到平方差公式（ａ ＋ ｂ）（ａ － ｂ）＝a2 - b2后，筆者隨之給出以下題組：

１． 下列計算對嗎？如果不對請改正．

（１）（２ｂ ＋ ａ）（ａ － ２ｂ） ＝ ４ｂ２ － ａ２；

（２）（ｍ － ｎ）（－ｍ － ｎ） ＝ －ｍ２ － ｎ２.

２． 運用平方差公式計算：

（１）（－４ｘ ＋ ｙ）（ｙ ＋ ４ｘ）；

（２）（２ａ ＋ ｂ － ２ｃ）（２ａ ＋ ｂ ＋ ２ａ）；

（３）１１２ × １０８；

（４）１０■×１１■；

（５）５６７８ × ５６８０ － 56792.

教材設計意圖很明顯，是要學生通過計算、觀察、比較、歸納得出平方差公式的一般式，揭示平方差公式的特征．公式中的字母既可表示數、也可表示式．

教材中還通過圖形面積進行驗證，對于這個問題，筆者所在學校的老師們中引起了較大爭論．有的教師從面積問題引入，有的也在這個問題上做了很多的文章．通過研討，大家也基本取得了共識，看待這個問題還是要回到平方差公式的地位和作用上. 乘法公式是整式乘法法則的特例，公式本身的核心在于其結構特征，“面積問題”僅僅是從“形”的角度來說明乘法公式的．因此，在指導學生閱讀時對“面積問題”只要求通過計算、驗證公式的正確性即可．

“文字描述”、“符號概括”、“圖形直觀”這三種表達數學概念的基本形式，也是對“平方差公式”的一個“真實”的刻畫．

三、步步設疑——“改”問題，應用數學定理

幾何定理是邏輯推理的主要依據，而嚴謹性是幾何定理的主要特點之一. 數學說理要求言必有據，環環相扣，因此，對定理的深刻理解，肢解幾何語言，分清定理的前提、題設及結論，顯得尤為重要．

案例４ 對于“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧”這一定理的教學中，筆者設計了以下閱讀指導：

（１）這個定理的主語、謂語、賓語分別是什么？

（２）對于直徑可以理解為過圓心的直線嗎？

（３）你能根據自己對定理的理解畫出圖形嗎？

（４）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，平分弦所對的弧. 這里的“不是直徑怎么理解”，請畫圖說明.

由于學生剛接觸弦與直徑，對所有的直徑都互相平分這一事實不是很有意識，故筆者提出請“畫出圖形”這一設問幫助學生進行理解．

案例５ 在浙教版八下“梯形”第一課時的“探究活動”中的“梯形中位線”的證明的教學中，筆者設計了以下閱讀方法：

１． 回顧三角形的中位線定理，并畫出圖形，說出三角形中位線與第三邊的位置與數量關系；

２． 根據梯形中位線的定義，畫出圖形，用刻度尺量出中位線的長度，猜想與梯形兩底和的數量關系，并用兩塊三角板平行移動的方法判斷中位線與梯形兩底的位置關系．

３． 你能把三角形中位線與梯形中位線的公式進行統一嗎？

通過對定理條件的改動，用三角形中位線的類比，在實際教學中取得了較好的效果．如有學生對異面直線有了初步的影響，培養了學生的空間概念，也有的學生能從定理的本質對三角形、梯形的中位線深刻理解（如圖所示），由于三角形中位線ＥＦ ＝ ■ＡＢ，梯形中位線ＥＦ ＝ ■（ＡＢ ＋ ＣＤ），當ＣＤ ＝ ０時，梯形中位線就變成三角形中位線，也就是說，三角形在某種意義上是一種特殊的梯形．

四、句句揣摩——“析”問題，解決數學問題

近幾年中考試題中，信息量大，生活氣息濃，對學生閱讀能力的要求很高． 所以學會精讀試題、存真去偽，已成為學生的基本能力．以２０１１年衢州中考卷為例，我校初二學生選做了部分試題，從中得出的結論略說一二．

案例６ （２０１１衢州卷第７題）５月１９日為中國旅游日，衢州推出“讀萬卷書，行萬里路，游衢州景”的主題系列旅游惠民活動. 市民王先生準備在優惠日當天上午從孔氏南宗家廟、爛柯山、龍游石窟中隨機選擇一個地點；下午從江郎山、三衢石林、開化根博園中隨機選擇一個地點游玩，則王先生恰好上午選中孔氏南宗家廟，下午選中江郎山這兩個地點的概率是 （ ）.

Ａ. ■ Ｂ. ■ Ｃ. ■Ｄ. ■

評析 學生通過閱讀，對試題的背景相當熟悉，有些同學甚至去過這些景點，考查的知識點似乎也簡單，但出現的答案出乎意料.以八年（５）班為例，全班共５０人，其中選Ａ的有２８人，占５６％，選Ｂ的６人，占１２％，選Ｃ的２人，占４％，選Ｄ的２人，占４％，認為此題沒答案的有１２人，占２４％．

這里認為沒答案的１２名同學引起筆者的興趣，究其原因，同學們說出的理由主要是，這六個景點都是看得見、摸得著的，而且想去哪個景點只要跟導游說一下不就可以了嗎，不存在概率問題，因此學生以為想去孔氏南宗家廟和江郎山是必然事件，所以概率為１．

那么問題究竟出在哪里呢？于是筆者設計了以下“問題串”：

（１）先讓學生做一道題：“有兩個不透明的甲、乙兩個袋子，分別裝有標上Ａ，Ｂ，Ｃ標記的三個完全一樣的小球，現從兩個袋子里分別摸一個球，恰好摸到標記為Ａ和Ｂ兩個小球的概率為多少？”

（２）通過做上面的題目，筆者指導學生重新閱讀試題，并提出：① 題目中的“關鍵詞”有哪些？② 哪些信息與解決問題無關的？③ 題中“隨機”一詞怎么理解？④ 有沒有時間順序？

通過這些“問題串”的設計與解答，學生對問題有了重新的認識，從而解決了問題.

二十一世紀越來越數學化，而數學越來越生活化．要想讀懂自然界這本用數學語言寫成的偉大的書，沒有良好的數學閱讀基本功是不行的． “問題串”式的課堂閱讀指導，既使學生在閱讀過程中掌握知識與方法，又能使教師了解學生的閱讀情況，同時有效地阻止了教師不由自主地滿堂灌．當然，在問題串的設計中，教師在著眼于學生的閱讀基礎，對書本知識與例題要進行合理地處理與重組，這不僅不會令學生產生重復感和厭倦感，而且在問題的解決過程中有利于學生的注意力集中．

因此，課堂教學應重視學生的數學閱讀能力的培養，培養學生以閱讀能力為核心的獨立獲取數學知識的能力，使他們獲得終身學習的本領．而以“問題串”的形式把數學“讀”起來，無疑是一劑“良藥”．

【參考文獻】

［１］石達林.淺談數學課堂中學生創新意識的培養.當代教育，２００８（２）．