“探索勾股定理”教學設計

蔡國忠

《數學課程標準》指出：“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者. ”基于這個理念，我們應把課堂還給學生，讓學生成為數學學習的真正主人. 教師的任務是給學生提供數學學習的機會和空間，引領學生積極合作交流，努力自主探索，不斷創新實踐，使學生在學習知識的同時提高自己的探索能力和創新能力.

下面就浙教版八年級上冊第二章第六節“探索勾股定理”具體分析教學設計.

一、教學目標

１． 知識目標：通過學習，讓學生掌握勾股定理，并且能夠運用勾股定理解決實際問題.

２． 能力目標：通過探索勾股定理，讓學生學會探索的基本方法，提高學生的探索能力.

３． 情感目標：通過學習，讓學生體驗成功的喜悅，激發學生的學習積極性.

教學重點：勾股定理的探索及應用.

教學難點：勾股定理的探索及驗證.

學情分析：學生經過小學到七年級的學習已經具備一定的觀察、歸納和推理能力，同時在小學里已經學習了求簡單基本圖形的面積公式，以及圖形的簡單割補，因此對圖形面積的計算具有一定的基礎，由于在探究勾股定理的正確性時，要求學生具有較高的空間圖形概念. 因此學生的現有能力與本節學習要求還有一定的差距.

二、教學過程

（一）結合生活，引入課題

利用多媒體展示生活中直角三角形的案例，如電線桿拉線、木棒斜靠在墻上、學生用的三角板等，通過圖片激發學生的學習積極性. 在觀看圖片時教師引導學生回顧已經學過的直角三角形的相關知識，然后提出問題：“直角三角形的三邊之間是否存在某種特殊的關系？”由此引入本課題，板書“探索勾股定理”.

設計意圖 對直角三角形定義以及直角三角形的基本性質，學生已經有了一定的了解，這里讓學生通過欣賞圖片，感受數學與生活的密切聯系，吸引學生的注意力，激發學生的學習積極性. 通過這個環節讓學生經歷將生活中的事物進行數學抽象的過程，提高學生的空間概念. 在本環節中，教師引導學生回顧已學過的相關知識，同時讓學生了解本節課的主題是研究直角三角形三邊之間的關系.

（二）交流合作，探究新知

１． 探索勾股定理

給每名同學發下一張白紙，以四名同學為一個小組，同學之間進行分工合作，每個學生按要求畫三角形. 要求盡量準確地在紙上作出相應的一個直角三角形，兩直角邊長分別為：

第一名同學：３厘米和４厘米； 第二名同學：６厘米和８ 厘米；

第三名同學：５厘米和１２厘米；第四名同學：９厘米和１２厘米.

并且測量斜邊的長度，結果保留整數，并通過計算填寫表格.

觀察表中ａ２ ＋ ｂ２與ｃ２兩列的數據，你能發現直角三角形三邊長之間的關系嗎？

小組討論，并且得出結論：ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２.

設計意圖 通過以小組為單位合作學習，有利于加強學生的合作意識，在學習中相互合作，在合作中相互學習，取長補短. 同時通過學生動手操作，探索發現直角三角形的勾股定理，有利于提高學生的動手能力和探索發現能力. 四名同學每人作一個直角三角形，有利于在較短的教學時間內作出較多的直角三角形，從而探索出勾股定理.

２． 探究勾股定理的正確性

以小組為單位，用四塊相同的直角三角板（或者四塊相同的直角三角形紙片）拼一個大的正方形，其中間空出一個小的正方形，然后通過它們面積之間的關系來驗證上面探究出的等量關系.

課堂預設 本環節對學生來說有一定的難度，為保證在規定時間內完成教學任務，教師應當及時引導學生操作.

當小組合作差不多時，在屏幕上展示拼湊方法有兩種：圖１和圖２.

分析：運用等積法，圖1中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加上小正方形的面積，即得：ｃ２ ＝ ４ × ■ａｂ ＋ （ｂ － ａ）２，化簡，得ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２.

圖2中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加上小正方形的面積，即得（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ４ × ■ａｂ ＋ ｃ２，化簡，得ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２.

設計意圖 用直角三角形來驗證勾股定理，對學生來說有一定的難度. 因此這里設計小組活動，可以發揮集體智慧的作用，避免基礎較差學生因難度太大而無所事事. 同時通過本環節讓學生樹立“任何猜想需要通過驗證后才能作為正確結論”的觀念，理解勾股定理可由等積法得到驗證.

３． 揭示勾股定理

在上兩個環節的基礎上，教師給出勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長為ａ，ｂ，斜邊長為ｃ，則ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２.

同時介紹數學小史：勾股定理是我國最早發現的. 中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名. 由于三邊都為整數的最小直角三角形的三邊長為３，４，５，因此有勾三、股四、弦五之說. （勾股定理在西方稱為畢達哥拉斯定理）

設計意圖 這個環節旨在揭示本節課的主題：勾股定理，讓學生掌握. 同時通過介紹數學小史，讓學生感受中國之偉大，激發學生的愛國熱情.

（三）應用發現，鞏固所學

１． 人人都是“小老師”

例１ 已知△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ｃ， ＢＣ ＝ ａ， ＡＣ ＝ ｂ，

（１）如果a = 1,b = 2，求ｃ；（答案：■）

（２）如果ａ ＝ １５，ｃ ＝ １７ 求ｂ；（答案： ８）

以同桌的兩名同學為小組，在學生各自完成例題解答后，小組間相互交換批改，并且討論遇到的問題. 如有學習困難的同學，小組成員負責幫助指導.

鞏固所學：比一比誰最快.

（１）直角三角形的兩直角邊為６和８，則斜邊為.

（答案：１０）

（２）直角三角形的兩直角邊為２和３，則斜邊為 .

（ 答案：■）

（３）直角三角形的兩條邊為３和４，則這個直角三角形的第三邊長為 . （答案：５或■）

設計意圖 通過本例，試圖讓學生掌握勾股定理，并且能夠運用勾股定理求直角三角形的邊長，為運用勾股定理解決實際問題打下良好的基礎. 這里以二人小組進行合作學習，既方便組合，提高學習效率，又有利于同學之間的相互幫助. 通過同學之間的相互探討，可以使學習困難的學生得到及時的幫助，增強他們的學習信心，提高他們的學習積極性. 通過一組練習題，進一步鞏固勾股定理和運用勾股定理進行計算，是現炒現買，尤其是已知直角三角形的兩條邊長，求第三邊長時，有兩種情況，需進行分類討論.

２． 學以致用

例２ 如圖3，從電桿離地面５米處向地面拉一條７米長的鋼纜，求地面鋼纜固定點Ａ到電桿底部Ｂ的距離．

設計意圖 學生學習知識的目的是應用，學生學習勾股定理的目的是為了應用勾股定理解決實際問題. 因此設計本例讓學生學會將學到的知識應用于實際，認識到知識來源于生活，也必將應用于生活. 同時本例也很好地呼應引入時的問題.

例３ 如圖4，是一個長方形零件，根據所給尺寸（單位：毫米），求兩孔中心Ａ，Ｂ之間的距離.

設計意圖 本例是讓學生學習如何構造出直角三角形，并且運用所學的勾股定理加以解決. 由于學生對從實際問題中抽象出數學問題的能力不是很強，教師在實際教學過程中要及時引導. 通過本例練習可以讓學生掌握解決問題的方法，提高學生分析問題、解決問題的能力.

（四）課堂小結，學生主角

１． 通過本節課你學到了哪些知識？

２． 在本節課中你有哪些認識和收獲？

設計意圖 本小節采用了學生自主小結的方法，讓學生從知識、能力和情感等多角度進行小結. 通過知識層面的小結使學生把一堂課所學的知識系統化，有利于對所學知識的鞏固和掌握. 通過認識和收獲的小結，可以使學生再次梳理自己的情感思維，有利于提高學生的學習積極性，激勵學生的的探索精神.

三、設計反思

優秀的課堂教學的標準是通過課堂教學使各類教學目標得以圓滿達成. 而要實現這個目標，一個重要環節便是教學設計，優秀的教學設計是優秀課堂教學的前提和保證. 通過本教學設計使我深深感受到要設計合作學習、自主探究的學習方式并不難，但是要設計切實可行且具有較好學習效果的教學方案，卻有較大難度.

“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式. ”合作學習作為一種較為有效的學習方式，為大多數老師所推崇. 合作學習確實可以改善課堂氣氛，提高學生的學習興趣，還可以促進學生個性的發展，但是合作學習容易出現由于學生的水平不同，導致學生的參與度不均衡，基礎較差的學生往往成為觀眾. 因此我們在進行合作學習時要合理分組、明確分工，學習內容難度適中. 同時可以引導基礎較好的學生適當幫助基礎較差的學生. 合作學習、自主探究在實施時還存在一個重要的問題——時間. 一節課４５分鐘，不能多，教學內容也不能少. 如何在有限的時間內，用合作學習、自主探究的學習方式，讓學生獲得知識和能力，值得在實際教學過程中探討研究. 如本節課中“探究勾股定理”的合作與探究，難度不大，能夠順利完成. 但是“探究勾股定理的正確性”的合作探究難度較大，學生完成有較大難度，教師在教學前應當設計較好的引導方式，在實際教學過程中合理把握教學進程，以便順利完成教學任務.

好的教學設計需要有好的演繹者. 一個好的教學設計，只有通過教師在課堂上完美演繹，才能體現出其優秀. 因此我們在追求優秀的教學設計的同時，還應當提高自己的教學能力，完善自己的教學方法和過程，最終實現二者的完美統一.