單側導數與導函數的單側極限關系探討

魯亞男 張永平

摘要： 本文通過對函數的單側導數與其導函數的單側極限之間的關系的研究，得到結論：對于在分段點處的單側鄰域內連續，可導的函數，如果其導函數的單側極限存在的話，則其單側導數就等于導函數的單側極限.從而給出了一個在滿足上述情況下的求分段函數在分段點處單側極限的方法——直接講分段點代入導函數即可.但必須注意的是，上述條件是充分非必要條件，當導函數的單側極限不存在時，不能用此方法來運算.反例見本文中例2.

關鍵詞： 單側導數單側極限關系探討

常見的分段函數由于它在除分段點外的小區間內的每段函數都是初等函數，因此，它們在這些小區間內都是連續，可導的.而要研究整個分段函數在其定義域內是否連續，可導，關鍵要看它在分段點處的連續性與可導性.其中，連續性的判別相對較簡單，而分段點處可導性的判別就要用到單側導數的定義，通常情況下，這類問題相對復雜.在學生中易出現的錯誤是直接將分段點代入導函數求分段導數，從而判斷在該點處是否可導.對于這種做法，有時結果上是正確的，但缺少必要的理論基礎.下面主要針對分段點處的連續性與可導性進行討論.

1.有關定理

定理1：若函數f（x）在[x，x+δ上連續，在（x，x+δ）內可導，并且導函數的右極限存在，則f（x）在x處的右導數存在，且

f′（x）=f′（x）……（1）

證明：因為f（x）在[x，x+δ）上連續，在（x，x+δ）內可導

所以任取x∈（x，x+δ），有f（x）在[x，x]上連續，在（x，x）內可導

由拉格朗日中值定理，得至少？堝ξ∈（x，x），使得=f′（ξ）

因為ξ∈（x，x），所以當x→x時，有ξ→x，于是，對上式兩邊同時取極限，得=f′（ξ）=f′（ξ）=f′（x）

又因為f′（x）=

所以有f′（x）=f′（x）

定理2：若f（x）在（x-δ，x]上連續，在（x-δ，x）內可導，并且導函數的左極限存在，則f（x）在點x處的左導數存在，且f′（x）=f′（x）……（2）

推論：若函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，且f（x）在a，b處單側連續，則有

f′（a）=f′（x）|=f′（a）……（3）

f′（b）=f′（x）|=f′（b）……（4）

即此時函數的單側導數的值與導函數在該點的值相等，此推論給出了一個求分段函數在分段點處的單側導數的教為簡便的方法——將分段點直接代入導函數即可.

2.應用舉例

例1.已知f（x）=sinx，x<0x，x≥0，求f′（x）.

解：當x<0時，f′（x）=cosx

當x>0時，f′（x）=1

當x=0時，因為f（x）在點0的左，右鄰域內連續，可導

所以，有f′（0）=1=1，f′（0）=cosx=1

于是，有f′（0）=f′（0）=f′（0）=1，所以，f′（x）=cosx，x<01，x≥0.

但值得注意的是，上述結論的條件是充分不必要的，當函數的條件不滿足時，仍需要用導數的定義求導，如例2.

例2.已知f（x）=xsin，x≠00，x=0，求f′（0）.

解：由定義知，f′（0）===xsin=0

所以，f′（0）=f′（0）=f′（0）=0

而當x≠0時，f′（x）=2xsin-cos；當x=0時，f′（x）=0

顯然f′（x）不存在（因為0是f′（x）的震蕩間斷點）

所以，此題中只能用定義來求導，而不能用本文的結論來做.

3.結論

本文給出了函數的單側導數與其導函數的單側極限之間的關系，找到了單側導數存在的一個充分條件，從而得到了求分段函數在分段點處導數的一個簡便方法.