兩類易混淆問題的分類解析

董永軍

函數的存在性和任意性問題，是一種常見題型，也是高考的熱點之一.它們既有區別又有聯系，意義和轉化方法各不相同，容易混淆.對于這類問題，利用函數的相關知識，可以把相等關系轉化為函數值域之間的關系，不等關系轉化為函數最值大小的比較.下面結合實例來辨析這幾種問題的轉化區別.

1.？堝x∈D，？堝x∈D，使得f（x）=g（x），等價于函數f（x）在D上的值域A與函數g（x）在D上的值域B的交集不空，即A∩B≠？準.

例1：已知函數f（x）=，0），若存在x，x∈[0，1]，使得f（x）=f（x）成立，則實數a的取值范圍是（）

A.（，]B.[1，2）C.[，2]D.[1，]

解：設函數f（x）與g（x）在[0，1]上的值域分別為A與B，依題意A∩B≠？準.

當x∈[0，1]時，易得A=[0，]；當x∈[0，1]時，易得B=[1-a，1-].

因為A∩B≠？準，所以0≤1-a≤或0≤1-≤，解得≤a≤2，故應選C.

2.對？坌x∈D，？堝x∈D，使得f（x）=g（x），等價于函數f（x）在D上的值域A是函數g（x）在D上的值域B的子集，即A？哿B.

例2：已知f（x）=lnx-ax（a∈R），它們的定義域都是（0，e]，其中e是自然對數的底數，a∈R.（1）求f（x）的單調區間；（2）若a=1，且b≠0，函數g（x）=bx-bx，若對任意的x∈（1，2），總存在x∈（1，2），使f（x）=g（x），求實數b的取值范圍.

解（1）略；（2）依題意實數b的取值范圍就是使得在區間（1，2）上g（x）的值域A是f（x）的值域B的子集實數b的取值范圍.

當a=1，x∈（1，2）時，由f（x）=lnx-x得f′（x）=-1=<0，故f（x）在（1，2）上單調遞減，所以f（2）

因b≠0，由g（x）=bx-bx得g′（x）=b（x-1）.

①當b>0，x∈（1，2）時，g′（x）>0，故g（x）在（1，2）上單調遞增，所以g（1）

②當b<0，x∈（1，2）時，同上可求得b≤ln2-3.

綜合①②知所求實數b的取值范圍是（-∞，ln2-3]∪[3-ln2，+∞）.

3.已知f（x），g（x）是在閉區間D的上連續函，則對？坌x，x∈D使得f（x）≤g（x），等價于f（x）≤g（x）.

例3：已知f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a>0.（1）若x=1是函數h（x）=f（x）+g（x）的極值點，求實數a的值；（2）若對任意的x，x∈[1，e]都有f（x）≥g（x）成立，求實數a的取值范圍.

解：（1）略；（2）對？坌x，x∈[1，e]，有f（x）≥g（x），等價于x∈[1，e]有f（x）≥g（x）.易得g（x）=e+1，要證x∈[1，e]時，f（x）≥g（x），即f（x）≥e+1.由上知求f（x）需對參數a進行分類討論過程繁而長，其實可避免分類討論，不等式恒成立問題往往轉化最值問題來解決，逆向思維，由于f（x）難求，將

f（x）≥e+1退回到恒成立問題：證x∈[1，e]時，f（x）≥e+1即x+≥e+1恒成立，只需證當x∈[1，e]時，h（x）=x-（e+1）x+a≥0恒成立，只需證h（x）≥0.因為h′（x）=2x-e-1，令h′（x）=0得x=∈[1，e].當1≤x<時h′（x）<0，當0，故h（x）=h（）=a-（）≥0，所以a≥，故所求實數a的取值范圍是[，+∞）.

點評：這里“另解”將不等式恒成立問題與最值問題的單向轉化變成雙向轉化，將一個需要分類討論的最值問題f（x）轉化為另一個不需要分類討論的最值問題h（x）≥0.

4.若對？坌x∈D，？堝x∈D，使f（x）≥g（x），等價于f（x）在D上的最小值不小于g（x）在D上的最小值即f（x）≥g（x）（這里假設f（x），g（x）存在）.

例4（2010年山東）：已知函數f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）.（1）當a≤時，討論f（x）的單調性；（2）設g（x）=x-2bx+4，當a=時，若對任意x∈（0，2），存在x∈[1，2]，使f（x）≥g（x），求實數b的取值范圍.

解：（1）略；（2）依題意f（x）在（0，2）上的最小值不小于g（x）在[1，2]上的最小值即f（x）≥g（x），于是問題轉化為最值問題.

當a=時，f（x）=lnx-x+-1，所以f′（x）=--=，則當00，所以當x∈（0，2）時，f（x）=f（1）=-.

g（x）=x-2bx+4，①當b<1時，可求得g（x）=g（1）=5-2b，由5-2b≤-得b≥，這與b<1矛盾；②當1≤b≤2時，可求得g（x）=g（b）=4-b，由4-b≤-得b≥，這與1≤b≤2矛盾；③當b>2時，可求得g（x）=g（2）=8-4b，由8-4b≤-得b≥.

綜合①②③得實數b的取值范圍是[，+∞）.

由此可見，掌握這幾種類型之后，此類問題便可迎刃而解。