數學教學中“合情推理能力”的培養研究

王亞梅

一、研究合情推理的意義

１． 合情推理在數學自身發展中的意義

Ｇ.波利亞說，數學的創造過程與任何其他知識的創造過程一樣，在證明一個定理之前，先得猜想、發現出這個定理的內容，在完全作出證明之前，先得不斷檢驗、完善、修改所提出的猜想，還得推測證明的思路，你先得把觀察到的結果加以綜合，然后加以類比，你得一次又一次地進行嘗試. 在這一系列的過程中，需要充分運用的不是論證推理，而是合情推理. 牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現. ”許多數學問題、數學猜想，包括著名世界難題的解決，往往是在對數、式或圖形的直接觀察、歸納、類比、猜想中獲得方法的，而后再進行邏輯驗證. 同時隨著問題的解決，使數學方法得到提煉或數學研究范圍得到擴展，使數學發展前進一步.

２． 合情推理對學生發展的意義

Ｇ.波利亞認為：“一個想把數學作為他終身事業的學生必須學習論證推理，這是數學科學的特殊標志. 然而為了取得真正的成就，他還必須學習合情推理，這是他的創造性工作所賴以進行的那種推理，雖然他不會有機會去直接應用它，但是他應該由此獲得一種標準，并依次把現代生活中所碰到的各種所謂證據進行比較，然而在他的工作之中必將需要合情推理. 總之，一個對數學有抱負的學生，不管他將來的興趣如何，他應該力求學習兩種推理：論證推理和合情推理.”

運用數學方法論的觀點和高級神經活動生理學研究成果分析數學思維，我們可以了解到，數學思維具有雙重性：一類是邏輯推理的抽象思維（左腦思維），另一類是進行合情推理的形象思維（右腦思維）. 邏輯思維是在“抓到真理”后進行完善和“補充證明”的思維，而合情推理則是“發現真理”的思維. 我們的數學教學，歷來強調邏輯思維，而對合情推理有所忽視. 再聯想到有關對中外學生調查結果顯示的中國學生科學測驗成績較差的信息，不能不使我們感到加強合情推理能力的培養已經到了刻不容緩的地步. 因此，“既教證明，又教猜想”，給合情推理能力的教學以適當的地位，是開發學生創造性素質的需要，是全面提高學生優秀文化素質的需要，是全面開發大腦潛力的需要.

我們要培養學生的合情推理能力，首先必須用數學方法論的觀點對教材進行加工、處理，充分挖掘教材，讓“死”的內容“活”起來，尋找有利于培養合情推理能力的知識點，在課堂教學中要善于捕捉有利的時機，力求讓學生的思維與數學家發現問題的思維過程或教材作者的思維過程同步，讓學生參與到知識的發生、發現過程中去，體驗到發明創造的思維情景、方法及樂趣，才有利于學生的創新活動.

３． 合情推理的教學模式

合情推理教學模式，就是以科學方法論為指導，通過運用合情推理，幫助學生學習、認知，并使其有效地應用合情推理的能力得到發展，從而達到增強學生一般文化素質和發現能力的一種課堂教學模式.

建構主義教學觀認為：教學活動中，學生應是認知行為的主體，而教師的行為是主導；教學內容應與學生的經驗世界和建構活動發生作用；學生從原有的知識經驗中，組織起相應的建構原材料，自己去提出問題、選擇方法和探索驗證，并進行表達、交流和修改，從而有效地建構新的認知結構；教師應是建構活動的設計者、組織者、參與者、指導者和評估者；一個好的建構活動應建立在問題解決的原則上.

教師在進行合情推理課堂教學中要注意以下幾方面.

（１）注意設計問題情境. 在創設教學情景時，教師對教材內容進行分析解剖，使其與某些數學思想（方法）聯系起來，并使這些數學思想隱入情景之中；注意要突出“問題”（應有一定的難度和開放性），把“問題”放在“需要”與“認知結構”的矛盾之中；要給學生創設一個具有合理的、自由的思維空間，要注意以下幾點：Ａ．可能導致發現；Ｂ．趣味性；Ｃ．便于學生參考.

（２）引導學生在情景中觀察. 因為觀察是人們認識客觀世界的門戶，所以觀察的結果直接影響猜想的可靠性，并且觀察力也是人的一種重要的能力. 在教學中一定要給學生必要的時間和空間進行觀察，培養良好的觀察習慣，提高觀察力.

（３）在觀察中認真思考，提出合理的猜想，接著對這個猜想進行檢驗，如果出現錯誤，那么再回到問題情景或猜想中，進行修正……如果檢驗沒有出現錯誤，最后進行演繹證明. 在證明中，也要加強合情推理的教學，這主要是在證明思路的探索上，要充分運用直覺和猜測，要提倡積極的試解.

（４）在形成結論后，通過回顧、評價，將其納入（或重建）學生的認知結構，使其與原有知識的邏輯聯系更加清晰，進一步鞏固知識、深化認識，使某些“技巧”上升為“方法”. 在形成結論之后，可以進行延續，在可能的條件下，要對其進行變換條件，擴展結論. 它不僅可以進行新的發現和猜測，而且是進行發散思維訓練的好方法，同時也是熟悉、消化、遷移知識的過程.

二、結論

學校的數學教學基本上是以教材為藍本，一般來說，中學數學教師在進行數學教學活動時，都以教材的內容為素材對學生的合情推理能力進行培養，毫無疑問，這樣的教學活動能促進學生的合情推理能力的發展. 但是，除了學校的教育教學活動（以教材內容為素材）以外，還有很多活動也能有效地發展學生的合情推理能力. 例如，人們日常生活中經常需要作出判斷和推理，許多游戲中也隱含著推理的要求. 所以，要進一步拓寬發展學生合情推理能力的渠道，使學生感受到生活、活動中有“學習”，有“合情推理”，養成善于觀察、猜測、分析、歸納、推理的好習慣.

【參考文獻】

［１］ Ｇ．波利亞，著．李心燦，王日爽，李志堯，譯．數學與猜想［Ｍ］．北京：科學出版社，２００１．

［２］ Ｇ．波利亞，著．涂亂，馮承天，譯. 怎樣解題——數學教學法的新面貌［Ｍ］．上海：上海科技教育出版社，２００２．