體味……有多大的教學

何義華 肖芳蘭

【摘要】 無理數的教學是“實數”教學的一個難點，理解教材的意圖、合理安排教學更是對老師的一個必要要求. 如何突破這一教學難點，值得老師們傾注精力. 在無理數的教學中，每個老師的安排及課后的感受都不盡相同，本文給出的是對無理數教學的一點新體驗.

【關鍵詞】 無理數；理解教材；頓悟教材；體味幸福

■有多大呢？這是初二數學人教版第十三章“實數”第二課時的一個探究問題. 在學了算術平方根后馬上就學習■有多大，慢慢想來，教材編排意圖深遠，但在教學過程中還是會有一些問題. 下面是我對本節課的一些體會.

一、理解教材的意圖

首先，在學了算術平方根后，按照學生的思維：一個數的算術平方根也是一個數（已經能夠表示了），那么這個數是多少？是我們通常的整數和小數嗎？具體地，比如學生想知道２的算術平方根到底是幾呢，這樣教材就自然地安排■有多大的問題. 其次，學生只有先知道了■有多大，才會便于我們后面學習實數時引出無理數的概念. 另外，教材在問■有多大時，前面還有一個探究問題如下：

怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形？

如圖1，把兩個小正方形沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為2的大正方形（如圖2），你知道這個大正方形的邊長是多少嗎？

這樣一個問題不僅問得好，而且非常必要. 它很自然地讓學生想到用方程求得大正方形的邊長為■，為本節課找到了主角，而且用算術平方根的意義引導了學生解新方程——二次方程. 緊接著，教材提了一個小問：小正方形的對角線的長是多少呢？這個小問設計得更妙，妙在它能夠培養學生的觀察能力（大正方形的邊長就是小正方形的對角線），還妙在不用勾股定理直接利用等面積法列二次方程可以求得對角線的長. 這節課并不是像許多老師說的，教材設計不合理，編排也不合理，沒有多少內容可講，只是我們還沒有完全領會教材的意圖.

二、教學中的“幸福”

在探究■有多大時，教材給出的答案如下：

∵ １２ =１，２２ = ４，

∴ １ ＜ ■ ＜ ２.

∵ １．４２ = １．９６，１．５２ = ２．２５，

∴ １．４ ＜ ■ ＜ １．５.

∵ １．４１２ = １．９８８１，１．４２２ = ２．０１６４，

∴ １．４１ ＜ ■ ＜ １．４２.

∵ １．４１４２ = １．９９９３９６，１．４１５２ = ２．００２２２５，

∴ １．４１４＜■＜１．４１５.

……

如此進行下去，可以得到■的更精確的近似值.

事實上，■ = 1.41421356…它是一個無限不循環小數.

我們未來的小數學家們會很疑惑地問：為什么因為12 =1，22 = 4，就有1 < ■ < 2？為什么后面省略下去就知道■是一個無限不循環小數，而不是無限循環小數或者有限小數呢？還有學生用計算器算出■ = 1.414213562，于是說：老師■不是無限循環小數. 如果有老師聽到學生問這樣的問題，那這位老師太幸運、太幸福了！因為我覺得，發問的學生太有才了，他們找到了老師的疑惑點，點出了教材編排上的遺憾.

讓人遺憾的是很多老師在這里都沒有很好地解決學生的疑問. 對于學生的第一個疑問，有的說一個正數的平方越大，那么這個數的算術平方根越大，理由高中會學；有的老師可能學生沒問，他“幸運”地就講過去了；“不幸運”的老師，面對學生的疑惑也會疑惑，于是認為教材不好. 不管老師們是“幸運”還是“不幸運”，我們都應該機智地回到教材剛開始得到主角的■三個大小正方形，這樣就一目了然了：正方形的面積越大，邊長就越大，而且可以順便總結出高中的知識，如A > B > ０，■ ＞ ■ ＞ ０． 如果這個地方明白了，那么對于平方根（和后面立方根）的比較大小，學生就相對好掌握了. 高興的是我是一個“不幸運”的老師，但是感覺到了“幸福”！

對于后面兩個疑問，我第一個反問學生：你怎么知道■不是無限不循環小數呢？最后大家還是不確切地清楚了■是一個無限不循環小數，于是我就跟他們說等后面學了無理數你就完全清楚. 但是按照教材所寫學了無理數后，仍沒有真正讓學生明白■是一個無理數，難免有些遺憾. 學生后面的一個疑惑很好解決，這是因為計算器對于那些無限小數都進行了四舍五入. 只要讓學生用計算器計算■的值，他們就完全明白計算器在什么情況下顯示的是近似值了！

三、頓悟教材的遺憾

上完這節課后，學生讓我發現了教材的這節課其實還是有些小遺憾. 一是在排版上沒有將三個大小正方形和■有多大放在一個版面，可能導致我們的老師“幸運”或“不幸運”，都沒有體味幸福的滋味；二是它沒有做到讓學生無疑問地明白■是一個無限不循環小數. 當然，就初中的教材是不可能完全解決未來的小數學家的疑問和老師的疑惑的. 另外，教材８８頁“閱讀與思考”：為什么說■是一個無理數？反過來對我們理解■有多大毫無疑問是有幫助的. 但是，教材上沒有發現任何地方告訴未來的小數學家們有理數可以寫成分數，就直接用到它去證明■是一個無理數了. 由此可見，教材不是萬能的，也沒有萬能的教材.

這節課下來，我收獲多多，體會多多，但更多的是我體味到了一個“不幸運”老師的幸福！