圓錐曲線中的幾個結論

何向東

筆者對圓錐曲線作了一些研究,得到了幾個漂亮的結論,與讀者分享,現說明如下.

定理1 設橢圓K:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0),線段AB為K的動弦,分別過端點A,B作K的切線交于點P,O是K的中心,則k㎡P·k〢B=-b2[]a2.

證明 設P（x′,y′),A(x1,y1),B(x2,y2)，則橢圓在A,B兩點處的切線方程分別為x1x[]a2+y1y[]b2=1,x2x[]a2+y2y[]b2=1,它們的交點為P,所以弦AB的方程為x′x[]a2+y′y[]b2=1.

故而,k〢B=-x′[]a2[]y′[]b2=-b2x′[]a2y′=-b2[]a2·x′[]y′=-b2[]a2·1[]k㎡P輐〢B·k㎡P=-b2[]a2.

推論1 設橢圓K:y2[]a2+x2[]b2=1(a>b>0),線段AB為K的動弦,分別過端點A,B作K的切線交于點P,O是K的中心,則k㎡P·k〢B=-a2[]b2.

定理2 設雙曲線K：x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0),線段AB為K的動弦,分別過端點A,B作K的切線交于點P,O是K的中心,則k㎡P·k〢B=b2[]a2.

推論2 設雙曲線K:y2[]a2-x2[]b2=1(a>0,b>0),線段AB為K的動弦,分別過端點A,B作K的切線交于點P,O是K的中心,則k㎡P·k〢B=a2[]b2.

推論1、定理2、推論2的證明類同于定理1,故從略.

文獻中給出了如下兩個結論.

定理1 橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)的過定點M(m,n)(m≠0,m≠±a)的動弦AB(不平行于焦點軸)的兩端點的切線交點N的軌跡是直線:mx[]a2+ny[]b2=1.

定理2 雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的過定點㎝(m,猲)(m≠0,m≠±a)的動弦AB(不平行于焦點軸)的兩端點的切線交點N的軌跡是直線:mx[]a2-ny[]b2=1.

筆者受其啟發得到了下面的結論.

定理3 設橢圓K:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0),過定點㎝(m,猲)(m≠0,m≠±a)的動弦AB(不平行于軸)的兩端點的切線交于點P，P的軌跡的斜率為k﹍璸,O是K的中心,則

k㎡M·k﹍璸=k〢B·k㎡P=-b2[]a2.

證明 設P(x′,y′),A(x1,y1),B(x2,y2),則橢圓在A,B兩點處的切線方程分別為x1x[]a2+y1y[]b2=1,x2x[]a2+y2y[]b2=1,它們的交點為P,所以弦AB的方程為x′x[]a2+y′y[]b2=1.又由定理1知點P的軌跡為mx[]a2+ny[]b2=1.ス識,k㎡M·k﹍璸=n[]m·-m[]a2[]n[]b2=-b2[]a2=k〢B·k㎡P.

推論3 設橢圓K:y2[]a2+x2[]b2=1(a>b>0),過定點㎝(m,猲)(m≠0,m≠±a)的動弦AB(不平行于軸)的兩端點的切線交于點P,P的軌跡的斜率為k﹍璸,O是K的中心,則k㎡M·k﹍璸=k〢B·k㎡P=-a2[]b2.

定理4 設雙曲線K:x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0),過定點M(m,n)(m≠0,m≠±a)的動弦AB(不平行于軸)的兩端點的切線交于點P,P的軌跡的斜率為k﹍璸,O是K的中心,則k㎡M·k﹍璸=k〢B·k㎡P=b2[]a2.

推論4 設雙曲線K:y2[]a2-x2[]b2=1(a>0,b>0),過定點M(m,n)(m≠0,m≠±a)的動弦AB(不平行于軸)的兩端點的切線交于點P,P的軌跡的斜率為k﹍璸,O是K的中心,則k㎡M·k﹍璸=k〢B·k㎡P=a2[]b2.

推論3、定理4、推論4的證明同于定理3,故從略.オ

【參考文獻】オ

李永利,孫秀亭.二次曲線定點弦的一個優美性質［J］.數學通訊，2004（9）.