由一道高考題看圓與橢圓的類比

張博

【摘要】類比推理是近幾年高考的一個熱點內容，既考查學生的推理論證能力，又考查學生的發散思維，進一步促進學生數學解題能力的提高，這樣可以使較難的題目迎刃而解.本文通過一道高考題來看解析幾何中圓與橢圓性質的類比.

【關鍵詞】圓;橢圓;類比推理

近幾年江蘇省高考數學在解析幾何方面的考查基本上堅持從圓與橢圓的性質入手，本文就圓與橢圓有關的性質類比試舉幾例與同學們共賞.

一、高考賞析

（江蘇2011高考第18題（3））如圖，在平面直角坐標系xOy中，MN分別是橢圓x2[]4+y2[]2=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P,A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B.設直線PA的斜率為k.對任意的k>0，求證：PA⊥PB.

證明 設P(x1,y1）,〣（x2,獃2),則x1>0,x2>0，x1≠x2,A(-x1,-y1),〤(x1,0).

設直線PB,AB的斜率分別為k1,k2，因為C在直線AB上，

ニ以k2=0-(-y1)[]x1-(-x1)=y1[]2x1=k[]2，

ゴ傭鴎1k+1=2k1k2+1=2y2-y1[]x2-x1·y2-(-y1)[]x2-(-x1)+1=2y22-2y21[]x22-x21+1=(x22+2y22)-(x21+2y21)[]x22-x21=4-4[]x22-x21=0，

因此k1k=-1，所以㏄A⊥PB.

點評 本題利用橢圓的性質使得過程較為簡潔，實際上本題中橢圓具有如下性質：k〣A·k〣P=-1[]2，請同學們思考橢圓方程的a2,b2與直線BA,BP斜率乘積有何聯系？是如何想到的呢？這是一種巧合嗎？下面我們帶著這些問題作進一步探究.

二、類比探究

唯物辯證法告訴我們：“任何事物的存在都不是孤立的，它必與其他事物有著必然的聯系.”由平面幾何圓的性質我們知道：（1）圓的直徑所對的圓周角為直角，即圓上任意一點（除直徑兩端點外）與圓直徑兩端點的連線所在直線的斜率（設斜率存在）之積為定值-1.類比到橢圓能否得到：橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一點與經過橢圓中心的弦的兩個端點（除這兩點外）的連線斜率（設斜率存在）之積為定值呢？

解析 設A(x1,y1),P(x0,y0),則x1≠x0，B(-x1,-y1).

設直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.

因為點A,P在橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上，

所以y21=b2-b2x21[]a2，y20=b2-b2x20[]a2.

從而k1·k2=y0-y1[]x0-x1·y0-(-y1)[]x0-(-x1)=y20-y21[]x20-x21=b2-b2x20[]a2-b2-b2x21[]a2[]x20-x21=-b2[]a2.

結論1 橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一點與經過橢圓中心的弦兩個端點（除這兩點外）的連線斜率（設斜率存在）之積為定值-b2[]a2.

三、探究延伸

圓與橢圓中是否還存在其他類似的結論，下面將圓中的類似性質類比到橢圓中，再進行探究.

（2）圓中：平分弦的直徑垂直于弦.類比橢圓中：過橢圓中心平分橢圓弦的直線與弦所在直線的斜率（設斜率存在）之積是否為定值呢？

解析 設A(x1,y1），B（x2,y2)，(x1≠x2,y1≠y2),中點㏄(x0,獃0).

因為點A,B在橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)即b2x2+a2y2=a2b2上,

所以b2x21+a2y21=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2.

兩式相減得：

゜2(x1+獂2)(x1-x2)+a2(y1+y2）（y1-y2)=0,

所以k〢B=y1-y2[]x1-x2=-b2[]a2·x1+x2[]y1+y2=-b2[]a2·1[]k㎡P.ゼ磌〢B·k㎡P=-b2[]a2.

結論2 過橢圓中心平分橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)弦的直線的斜率與弦所在直線的斜率（設斜率存在）之積是定值-b2[]a2.

ィ3）圓中：過切點的直徑垂直于圓的切線.類比橢圓中：橢圓上任一點與橢圓中心的連線的斜率與該點處切線的斜率（設斜率存在）之積是否為一定值呢？

先看蘇教版數學教材必修2第105頁第7題：已知圓C的方程是x2+y2=r2，求證：經過圓C上一點㎝(x0,獃0)的切線方程是﹛0x+獃0y=r2.類比到橢圓我們能得到：過橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一點M(x0,y0)的切線方程是x0x[]a2+y0y[]b2=1.（請同學們自行完成，提示應用導數的方法）

解析 設橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一點M(x0,y0)，由上述結論可知：以點M為切點的切線斜率為k=-b2x0[]a2y0，又k㎡M=y0[]x0，所以k·k㎡M=-b2x0[]a2y0·y0[]x0=-b2[]a2.

結論3 橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一點與橢圓中心的連線所在直線的斜率與該點處切線的斜率（設斜率存在）之積是定值-b2[]a2.把圓中的性質類比到橢圓中，在中學數學有著廣泛應用，由于其性質和圓類似，所以應用十分方便.有興趣的同學可以嘗試能否把上述結論類比到雙曲線和拋物線中呢？

四、創新賞析

如圖,設點P是橢圓E:x2[]4+y2=1上的任意一點(異于左、右頂點A,B).設直線PA,PB分別交直線l:x=10[]3與點M,N,求證:㏄N⊥狟M.

證明 設P(x0,y0),由已知A(-2,0)，B(2,0),

設直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.

因為點P在橢圓x2[]4+y2=1上，

所以，y20=1-x20[]4.

從而k1·k2=y0-0[]x0-(-2)·y0-0[]x0-2=y20[]x20-4=1-x20[]4[]x20-4=-1[]4.

直線PA的方程為y=k1(x+2)，令x=10[]3，得M10[]3,16k1[]3.

所以k〣M·k2=16k1[]3-0[]10[]3-2·k2=4k1·k2=-1，

即㏄N⊥狟M.

用類比的觀點學習數學，可使分散的知識得到集中，孤立的知識得到統一，這對于我們構建知識網絡有著重要意義.

【參考文獻】

吳玉梅.如何使得類比推理的結論更加合理.數學學習與研究，2011（17）.