對一道數(shù)學(xué)競賽試題的思考與推廣

馬濤

【摘要】在不等式的證明（或求最值）時，均值不等式與獵auchy不等式（或獺塴der不等式）的結(jié)合運用是一種重要方法.關(guān)鍵是要注意不等式中等號成立的條件.

【關(guān)鍵詞】均值不等式；獵auchy不等式；獺塴der不等式

有一道常見的數(shù)學(xué)競賽試題：

原題 已知x,y,z>0,求證：xy+2yz[]x2+y2+z2≤5[]2.

分析 結(jié)合求證的分式的結(jié)構(gòu)特點，通過對分母中的和式進(jìn)行適當(dāng)拆分，進(jìn)而運用均值不等式可使問題得到解決.

證明 據(jù)均值不等式，得：x2+1[]5y2≥2[]5xy,4[]5y2+z2≥4[]5yz.

二式疊加，可得：x2+y2+z2≥2[]5(xy+2yz)，易知，命題得證.

變式1 （2008年第五屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）求出最大的正實數(shù)λ,使得對于滿足x2+y2+﹝2=1的任何實數(shù)x,y,z成立不等式：|λxy+yz|≤5[]2.

分析 容易發(fā)現(xiàn)本題與原題有許多相似點，因而可結(jié)合原題的解題思想進(jìn)行研究.另外，需注意對絕對值號的適當(dāng)處理.

變式2 長方體ABCD-A1B1C1D1中，假設(shè)體對角線AC1與棱AA1,AB,AD夾角分別為α,β,γ，求:玞osα玞osβ+玞osβ玞osγ的最大值及此時α,β,γ的值.

分析 從本題的式子可以看出，與原題分式的分子式相似，另外結(jié)合長方體中有三角關(guān)系

玞os2α+玞os2β+玞os2γ=1,進(jìn)而可仿照原題進(jìn)行求解.

推論1 若x,y,z,a,b>0,則有axy+byz[]x2+y2+z2≤a2+b2[]2.

變式3 x璱>0,i=1,2,…,n,x21+x22+…+x2璶=1,求﹛1(x2+獂3+…+x璶)的最大值.

分析 根據(jù)題目中的式子特點，很容易聯(lián)想到獵auchy不等式和均值不等式，但若不能結(jié)合問題綜合考慮，則會導(dǎo)致如下錯誤：

錯解 據(jù)均值不等式，得：x1(x2+…+x璶)≤x1+(x2+…+x璶)[]22=(x1+x2+…+x璶)2[]4.

又由獵auchy不等式，有(x1+x2+…+x璶)2≤n(x21+﹛22+…+x2璶)=n,

從而，有x1(x2+…+x璶)≤n[]4.故x1(x2+…+x璶)﹎ax=n[]4.

錯因 以上錯解的主要原因在于僅僅聯(lián)想到兩個不等式的特點，而忽視了不等式中等號成立的條件.

正解 據(jù)均值不等式，得：1[]n-1x21+x22≥2[]n-1x1x2，…，1[]n-1x21+x2璶≥2[]n-1x1x璶，

不等式疊加，可得：2[]n-1x1(x2+…+x璶)≤x21+x22+…x2璶,即：x1(x2+…+x璶)≤n-1[]2,

當(dāng)且僅當(dāng)1[]n-1x21=x22=x23=…=x2璶時取等號，結(jié)合x21+x22+…+x2璶=1，可解得此時x1=2[]2,x2=x3=…=x璶=2(n-1)[]2(n-1).故x1(x2+…+x璶)﹎ax=n-1[]2.

推論2 若x璱∈R+,i=1,2,…,n,則有

x璱(a1x1+…+a﹊-1獂﹊-1+a﹊+1獂﹊+1+…+a璶x璶)[]x21+x22+…+x2璶≤a21+…+a2﹊-1+a2﹊+1+…+a2璶[]2.

變式4 若x璱∈R+,i=1,2,3,4,5,試求（x1+x2)(x3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x25的最大值.

分析 若僅僅考慮對和式x21+x22+x23+x24+x25進(jìn)行拆分，顯然很難奏效，可以考慮借助獵auchy不等式和均值不等式對其進(jìn)行轉(zhuǎn)化.只不過也很容易導(dǎo)致如下錯誤：

錯解 由均值不等式，得：(x1+x2)(x3+x4+x5)≤(x1+x2)+(x3+x4+x5)[]22=(x1+x2+x3+x4+x5)2[]4.

又據(jù)獵auchy不等式，得：

(x1+x2+x3+x4+x5)2≤5(x21+獂22+x23+x24+x25)，

從而(x1+x2)(x3+x4+x5)≤5[]4(x21+x22+﹛23+獂24+x25)，

即(x1+x2)(x3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x25≤5[]4.

故(x1+x2)(x3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x25的最大值為5[]4.

錯因 類似于變式3，問題仍在于獵auchy不等式和均值不等式的等號成立條件.可若把兩個重要不等式反過來使用，則能實現(xiàn)解題目標(biāo).

正解 據(jù)獵auchy不等式，得：(x1+x2)2≤2(x21+x22),(x3+x4+x5)2≤3(x23+x24+x25).兩式相乘，可得：

（x1+x2)2·(x3+x4+x5)2≤6（x21+x22)(x23+x24+x25).

又由均值不等式，得：

(x21+x22)(x23+x24+x25)≤(x21+x22)+(x23+x24+x25)[]22，

從而有(x1+x2)2(x3+x4+x5)2≤6(x21+x22)+(x23+x24+x25)[]22,

即：(x1+x2)(x3+x4+﹛5)≤6[]2(x21+x22+x23+x24+x25),

故(x1+x2)(x3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x25≤6[]2，

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2,x3=x4=x5,x21+x22=x23+x24+x25，

即┑眡1=獂2=λ[]2,x3=x4=x5=λ[]3,(λ>0)時，(x1+x2)(x3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x25的最大值為6[]2.

推論3 若x璱∈R+,i=1,2,…，n,m∈N,m>1,則有

(x11+…+x1i1）（x21+…+x2i2)·…·（x﹎1+…+x﹎i璵)[]x琺1+x琺+…+x琺璶≤(i1i2…i璵)1-1[]m猍]m.

其中x11+…+x1i1,x21+…+x2i2,…，x﹎1+…+x﹎i璵是x1+x2+…+x璶的一個分割.

證明 據(jù)獺塴der不等式，得：

x11+…+x1i1≤(i1)1-1[]m(x琺11+…+x琺1i1)1[]m，

x21+…+x2i2≤(i2)1-1[]m(x琺21+…+x琺2i2)1[]m,…,x﹎1+…+x﹎i璵≤(i璵)1-1[]m(x琺﹎1+…+x琺﹎i璵)1[]m,

從而(x11+…+x1i1)(x21+…+x2i2)·…·（x﹎1+…+x﹎i璵)

≤(i1i2…i璵)1-1[]m［(x琺11+…+x琺1i1）·…·（x琺﹎1+…+x琺﹎i璵)］1[]m.

又由均值不等式，得：

(x琺11+…+x琺1i1)·…·(x琺﹎1+…+x琺﹎i璵)

≤(x琺11+…+x琺1i1）+…+(x琺﹎1+…+x琺﹎i璵)[]m琺

=x琺1+x琺2+…+x琺璶[]m琺.

ソ而(x11+…+x1i1)(x21+…+x2i2)·…·（x﹎1+…+x﹎i璵）≤(i1i2…i璵)1-1[]m獂琺1+x琺2+…+x琺璶[]m，す(x11+…+x1i1)(x21+…+x2i2)·…·（x﹎1+…+x﹎i璵)[]x琺1+x琺+…+x琺璶≤(i1i2…i璵)1-1[]m猍]m，

當(dāng)且僅當(dāng)x11=…=x1i1，…，x﹎1=…=x﹎i璵,x琺11+…+x琺1i1=…=x琺﹎1+…+x琺﹎i璵,

即當(dāng)x11=…=x1i1=λ[]i1[]m1,x21=…=x2i2=λ[]i1[]m2,…,x﹎1=…=x┆玬in=λ[]i1[]m璵,(λ>0)時，推論3中的等號成立.

推論4 若x璱,a璱∈R+,i=1,2,…,n,m∈N,m>1，則有

（a11獂11+…+a1i1獂1i1)(a21獂21+…+a2i2獂2i2)·…·（a﹎1獂﹎1+…+a﹎i璵獂﹎i璵)[]x琺1+x琺+…+x琺璶≤a﹎[]m-111+…+a﹎[]m-11i1·…·a琺[]m-1﹎1+…+a琺[]m-1﹎i璵1-1[]m

[]m.

其中a11獂11+…+a1i1獂1i1,a21獂21+…+a2i2獂2i2,…,a﹎1獂﹎1+…+a﹎i璵獂﹎i璵是a1x1+a2x2+…+a璶x璶的一個分割.

注 推論4與推論3的證明過程相似，不再贅述.另外，推論4中等號成立的充要條件是

x﹋k=λa1[]m-1﹋k猍]a﹎[]m-1﹋1+a琺[]m-1﹋2+…+a琺[]m-1﹋i璲1[]m,j=1,2,…,m;k=1,2,…,i璲,(λ>0).