滲流網絡中馬爾科夫過程的研究

王亞娟

【摘要】本文主要研究了玓琩上伯努利滲流開簇和網絡的動態行為，得到了大數定理和大偏差定理等極限理論.由于不能直接在滲流開簇上定義馬爾科夫過程，故本文在無序的滲流網絡中定義了馬爾科夫過程.并在此基礎上研究了滲流網絡中的馬爾科夫鏈大偏差理論，并給出了大偏差定理的速率函數的顯示表達.

【關鍵詞】滲流網絡;馬爾科夫過程;極限定理オ

一、邊滲流與點滲流

1.什么是滲流

滲流是許多實際問題的抽象，比如，水在有孔介質中的逾滲、火勢的蔓延等都可以用滲流模型來描述，他們關心的是在給定空間上一些隨機分布對象的連通性問題，考慮二維正方形網格上的滲流問題，我們可以以某個概率p隨機地占據網格上的點或邊，當兩個被占據的點或邊相接觸時，我們就稱其為連通的，互相連通在一起的所有點或邊的集合稱為連通集合.很顯然地，當概率p較小時，網格上只會有一些孤立的小的集合，而當p較大時(極限情況下p=1)，則會形成連通網格邊界的無限大集合，研究發現，無限大集合的出現是一個典型的連續相變問題，對無限大的網格，存在著一個臨界滲流概率p璫.當pp璫，則會存在一個無限大集合，網格是可以滲流的.

2.滲流的數學模型

我們用數學語言來闡述究竟什么是滲流，考慮圖G=(V,E)，V為頂點集，E為其所有邊所構成的集合，設所有邊獨立地以概率p開通，1-p閉合，則所有開邊構成G的一個隨機子圖.上面的問題歸結為在這個隨機子圖中是否存在一條由開邊構成的連接中央點和邊緣的連通分支，圖G的一條路是指G的一個頂點序列:v1，v2，…，使得對所有的i≥1，v璱和v﹊+1在G中相鄰.一條路稱為是開路，如果構成它的所有邊{v璱，v﹊+1獇都是開的.用開路相連的點組成的連通集合稱為開簇.假設A，B糣，則A蹷表示存在開路連接A中某個頂點和B中的某個頂點.通常如果記號不會產生混淆，以u躹代表事件{u}躿v}.包含頂點v的開簇C(v)是所有可以被開路與v連接的頂點全體.即

C(v)={u∈v:u躹}.

假設G是無限圖，以O代替中央點，以P璸表示相應的概率測度，滲流理論的一個中心問題就是考慮滲流概率

θ（p）=P璸{0堋迃=P璸{|C（0）|=∞}.

這就是獺ammersley［1］等人最早研究的邊滲流模型，與邊滲流相對應的是點滲流，即所有的邊是確定開通的，但點卻獨立地開或閉分別以相應的概率p或1-p.一個開路此時指其上的所有點都是開的.

二、滲流網絡上的馬爾科夫鏈

1.引 言

不論是Haggstrom研究的Dac模型還是隨機著色模型［2］，其共同點都是將隨機過程定義在滲流開簇上，且同一開簇上個體的行為是一致的.眾所周知，馬爾科夫過程是隨機過程理論中具有良好性質的隨機模型，可以用來刻畫很多現實模型，但是，如何在滲流開簇上來定義馬爾科夫過程呢?到目前為止，我們對滲流開簇的幾何形狀還知之甚少，滲流開簇的分布也是雜亂無章的，定義馬爾科夫過程，必然要有時間或空間的次序. 本文，我們擯棄以往直接在滲流開簇上定義過程的方法，而是按照距離原點的遠近來重新劃分滲流網絡中的頂點，將格點B璶分劃為Γ0,Γ1,…,Γ璶相應于序列Γ璶,n≥0，我們定義一個齊次馬爾科夫鏈，使得在同一Γ璳上的個體的行為是一致的.因而從某種程度上來說，這樣所構造的模型比獶ac模型更一般化.

2.主要結果

設{X璶,n≥0}是取值于狀態空間S={1，2，…，m}的遍歷鏈，P=(p﹊j)﹎×m是其不可約轉移矩陣，π=(π（1）,π（2）,…，π（m）)是馬爾科夫鏈{X璶,n≥0}的平穩分布.設玃﹊0和E﹊0分別是概率分布和數學期望，這里P﹊0被定義為

P﹊0（A）=А篇﹊∈AP﹊0i,P（玐0=i0）=1.

定理1 設μ=А篇琺﹌=1Иπ(k)f(k)和a>μ，則在條件概率測度玃0意義下，對幾乎所有的ω∈Ω0，┆玪im猲→∞1[]n玪ogP﹊0(S璶≥b璶a)=-I(a).

這里，I(a)=玸up珄(ac(p)δ-А要10И玪ogρ(δc(p)玠玿┆玠-1玠玿}(δ>0)，

且ρ(x)表示矩陣P(x)=(p﹊j猠﹛f(j))﹎×m的玃erron睩robenius特征值，x∈R是實數.

定理2 設S璶=А篇琻﹌=0Е錨璳f(X璳),則在條件概率測度P0意義下，對幾乎所有的│亍濕Ω0，當n→∞時，我們有

S璶-ES璶[]Var(S璶)→N(0,1).

這里N(0,1)表示標準正態分布.

由定理1可知，速率函數I(a)是與滲流密度參數ρ有關的，且定理1的結論可以推廣到更一般的形式，不必拘泥于滲流環境下，如果存在參數γ>0和a≥1以及兩個正實數序列{b璶,n≥1}和{γn,n≥1}，使得當n→∞時，有

b璶~n琣,γ璶~n゛-1

成立，則對于1[]b璶А苙[]k=1Е錨璳f(X璳)

的大偏差，我們同理有它的速率函數

I(a)=玸up珄(yγδ-А要10И玪ogρ(δ)γx゛-1玠玿}(δ>0).

三、結束語

對于滲流網絡上的馬爾科夫鏈，我們研究了其大偏差定理，豐富了大偏差理論.一般來說，經典的大偏差理論關心的是獨立隨機變量序列和其前n項的算術平均，而我們則研究了形如b璶/S璶規范和的大偏差定理，這是對經典大偏差理論的充實.此外，我們還給出了一類非齊次馬爾科夫鏈的大偏差理論和其速率函數的顯示表達.オ

【參考文獻】オ

［1］Broadbent,S.R.and Hammersley,J.M.Percolation processes［M］.Cambridge Philos.Soc.53 629-645,1957.

［2］Haggstrom,O.Coloring percolation clusters at random ［J］.Stochastic Processes Appl.96 213-242,2001.