有限元分析處理水槽化學污染問題

周旭 江山 羅陽 居加穎

【摘要】研究一維固定長度的水槽中化學污染物的穩態分布情況，利用有限元法作數值模擬，將其有限元解與真解進行比較，發現隨著網格剖分數的不斷增大，絕對誤差的數量級可達10-6，L2范數的數量級可達10-5，且有高于1階收斂結果.

【關鍵詞】有限元解；誤差分析；水槽化學污染

【基金項目】江蘇省高等學校大學生實踐創新訓練計劃項目

有限元方法［1-3］是求解各種復雜數學物理問題的重要方法，可以利用變分原理將實際工程計算中的微分方程問題轉化成與之等價的變分問題.因此，有些工程問題可以轉化為控制方程，由基本方程和平衡方程給出.從變分原理出發，給出相應問題的有限元模型，采用有限元法給出相應的微分方程邊值問題的近似解，進而考慮滿足高精度要求的數值結果.

一、一維定長水槽問題

1.位勢流

在地下水問題中，設流體為定長不可壓流動，由連續方程或質量守恒方程描述此問題.設面積為常數，則一元勢函數可為φ(x)=-K(x)h(x)與u(x)=玠φ[]玠玿，其中u為速度，h為壓力頭，L為滲透率.基本方程由獶arcy定律［4］猽(x)=-K·玠玥(x)[]玠玿給出.定長不可壓縮流動滿足玠玼[]玠玿=0關系，聯立上述三個方程有玠2φ[]玠玿2=0，其解為線性函數，因而一維流動問題的速度為常數.

2.質量輸運方程

一維水槽中介質流動是定常的，其控制方程將發生擴散現象，質量方程的平衡以稀釋混合項的形式給出.將位勢流理論與質量擴散理論相結合，得到問題的一個較全面的描述.設截面積為常數，則稀釋混合項的質量平衡描述為

u(x)玠獵(x)[]玠玿+玠玧(x)[]玠玿+K璻C(x)=m.(1)

這里u(x)表示流動速度，C(x),j(x)分別表示濃縮系數和流通量，K璻表示稀釋項與周圍物質的反應速度，m表示質量源函數，其基本方程稱為獸ick定律［5-6］，表示為j(x)=-D(x)·玠獵(x)[]玠玿，這里D(x)是擴散系數，聯立可得控制方程：

u(x)玠獵(x)[]玠玿-玠玔]玠玿D(x)玠獵(x)[]玠玿+K璻C(x)=m.(2)

設已知速度u(x)，C(x)邊界條件為本質邊界條件，﹋(x)邊界條件為自然邊界條件.對方程(2)用擬變分法［2］，其擬變分函數可寫為

J(C)=А要璙1[]2D玠獵[]玠玿2+Cu玠獵[]玠玿+K璻C2-2mC玠玍.(3)

將體積積分改為關于定常截面積A和長度L的重積分，并將(3)改寫為基于形函數的矩陣形式，可得

J(C)=A[]2А要琇0{C}琓玠玁[]玠玿

琓［D］玠玁[]玠玿

{C}玠玿+A[]2А要琇0{C}琓·［Ｎ］Ｔ［u］玠玁[]玠玿{C}玠玿+A[]2

А要琇0{C}琓［N］琓［K璻］［N］{C}玠玿-И〢∫琇0{C}{N}琓m玠玿.

二、數值應用及分析

設一維水槽長L=1 玬，各處的橫截面相同，內有流體流動，在x=0處，高度0.33 玬，在x=1處，高度0.11 玬，在x=0處測得某化學污染物的濃度為0，而在x=1處的濃度為10 玬g/m3.在流動過程中，污染物與周圍物質以K璻=6.6×10-4的常數比發生反應，化學物質以擴散系數D=1.0×10-4擴散，物質的水力傳導率K=1.0×10-4，我們分析水槽中化學污染物的穩態分布情況.

構造有限元解，將剛度矩陣代入非零本質邊界條件后，可得整體剛度矩陣：

1.0[]

[]22.0[]-11.0

[]-11.0[]22.0[]-11.0

[3]鱗]鱗]鳘

[4]鱗]鱗]鳘

[5]-11.0[]22.0[]-11.0

[6]-11.0[]22.0

[8]1.0

h1

h2h3う螵う螵h10h11h12

=0.33

3.630.0う螵う螵0.01.210.11

用列主元獹auss消去法求解得h1=0.33,h2=0.31,﹉3=0.29,h4=0.27,h5=0.25,h6=0.23,h7=0.21,h8=0.19,h9=0.17,h10=0.15,h11=0.13,h12=0.11,有﹗=-K(h2-h1)[]L[]n，

（10-4）11.09 -10.79

-11.01 11.31

C1C2

(4)

由式(4)邊界條件C﹛=0=0和C﹛=1=10，組成如下整體矩陣:

（10-4)·104

[]22.4[]-10.79

[]-11.01[]22.4[]-10.79

[3]鱗]鱗]鳘

[4]-11.01[]22.4[]-10.79

[5]-11.01[]22.4

[7]104

C1

C2C3う螵C10C11C12

=0.0

0.00.0う螵0.010.79·10-310.0

.

邊界條件為C﹛=0=0和C﹛=L=C璍，長度為L的區域上解析解為C=C璍e│(x-L)·玸in玥(βx)[]玸in玥(βL)，其中α=u[]2D和│=α2+K璻[]D1[]2.下表是由有限元解C環和解析解C制成的：

通過編程計算，給出n=100,200,400,800時的有限元解與真解的絕對誤差及L2范數А篇琻﹊=1(C-C環)2

1[]2.通過數值實驗可知，用有限元法作數值模擬時，當網格剖分數越來越大由100到800，絕對誤差的數量級可達10-6，L2范數的數量級可達10-5，其收斂階高于1階玶ate=log2E璑[]E2N.

通過研究一維固定長度的水槽化學污染物的穩態分布情況，利用有限元水槽化學污染的模型作數值模擬，我們得到了各節點上高精度的污染物分布情況.

【參考文獻】オ

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