拉格朗日之前的代數方程的發展

趙增遜

【摘要】一元代數方程的發展經歷了漫長的歷史，有很多的數學家都對代數方程的求解作出了巨大的貢獻，其中拉格朗日是比較突出的一位，拉格朗日是在廣泛而認真地研究了前人工作的基礎上得出了重要的代數方程求解理論.所以要想深入地了解拉格朗日工作的內涵必須清楚在其以前代數方程發展的歷史.文章正是基于此，詳細地分析了拉格朗日之前代數方程的發展史并介紹了三次、四次方程的求解方法.

【關鍵詞】代數方程；拉格朗日；發展歷史

【中圖分類號】玁09

【文獻標識碼】獳オ

一、序 言

一元代數方程的發展已有四千多年的歷史，從簡單的一次方程到今天的群論，代數方程求解的形式和內涵都發生了巨大的變化.很多偉大的數學家都對一元代數方程的求解作出了重要的貢獻，其中拉格朗日是較為突出的一位.拉格朗日對代數方程求解的主要貢獻是提出輔助方程理論和用置換的思想進行方程求解，拉格朗日提出這些理論是在廣泛而深入地研究了前人的工作后才得出的，所以要想清楚拉格朗日的工作、了解代數方程求解史，我們必須要知道在這之前的發展史.

二、拉格朗日之前的代數方程的發展

1.一元一次、一元二次代數方程的發展

據記載一元代數方程的歷史應該從公元前2000年左右的埃及數學談起，在萊茵德紙草書中就已經出現了一次方程，只是當時的未知數x用“堆”來表示，提出的問題相當于求解x+ax=b或者x+ax+bx=c類型的一次方程，埃及人順利解出了此類方程，他們采用“假位法”；在紙草書中已經出現了簡單的二次方程ax2=b，一元代數方程的歷史從此拉開了序幕.古巴比倫的泥版書則表明，古巴比倫人已經會解一般的二次方程并給出了方程的求根公式，但由于古巴比倫人不承認負數，二次方程有負根是忽略掉的，所以他們只處理方程根為正數的情況.在歐幾里得《原本》中給出了二次方程有實根的判別條件.公元200年~1200年時期的印度人已經認識到二次方程有兩個根，而且可能會出現負根和無理根，他們已經會使用配方法解二次方程，但由于不承認負數有平方根（虛數），故他們并不能解所有的二次方程.尤其值得一提的是3世紀時中國著名數學家趙爽得出了x2-bx+c=0型方程的求根公式，據稱這是歷史上最早的二次方程求根公式的記錄.公元724年左右，唐代數學家張遂曾利用求根公式求解一元二次方程，并且還發現了二次方程的根與系數關系，該成果比法國大數學家韋達對代數方程的研究要早1000年左右.阿拉伯數學家花拉子米對二次方程的求解也作出了突出的貢獻，他第一次給出了二次方程的一般代數解法，并第一次給出幾何證明.

到公元1000年左右人們基本上會解任何形式的一元一次、一元二次代數方程，從方法上來講也比較多，像配方法、公式法、因式分解法等都已被人們所熟知，但由于數系的發展是緩慢于代數方程求解方法的發展，雖然當時人們會用各種方法去解方程，但當方程的根是負根或復數根時，很多數學家是不承認的.

2.一元三次、一元四次代數方程的發展

三次方程的求解更是舉步維艱，直至現在仍然有很多大一的學生都不太會解三次方程.據記載最早出現三次方程是在美索不達米亞的泥版書中，他們主要解類似x3=a和x3+x2=a的三次方程，但大都是采用查表的方法解答，因為巴比倫人編有專門的立方表和立方根表及m3+n2的數值表.而真正開始嘗試求解一般三次代數方程是由阿拉伯人奧馬·海亞姆作出的，他于約1079年出版了《代數學》，他用圓錐曲線解三次方程，這是阿拉伯人在代數方程求解上作出的推進性貢獻.至于用純代數的方法進行一元三次代數方程求解則出現的相對較晚，以至于1494年帕喬利還曾宣稱一般的一元三次代數方程不可解，然而這一宣言在六年后即被打破.1500年波羅尼亞的數學教授費羅宣布解出了x3+mx=n類型的三次方程，在他之后的塔塔利亞和卡爾達諾幾乎可以解任何類型的三次方程，并且沒過多久卡爾達諾的學生費拉里即宣告解答了一元四次代數方程.

到拉格朗日時期一元一次、一元二次、一元三次、一元四次方程的求解已基本上得到解決，由于一次、二次方程的解法比較固定、簡單而且大家都比較熟悉，在這里就不再敘述了.自從16世紀意大利的數學家們解出了一元三次、一元四次方程，許多的數學家開始嘗試各種技巧進行一元三次、一元四次代數方程求解，并試圖解答五次及五次以上的方程.在這里我們有必要介紹幾位數學家求解一元三次、四次方程的方法.

3.一元三次、一元四次代數方程的解法

三次方程求根公式的推廣得益于卡爾達諾，是他最早公開發表三次方程的求解方法、求根公式并且幾何驗證了這種解法.我們不可能將卡爾達諾的原著再現，下面的過程只是展現了他解三次方程的內涵.

對于x3+ax2+bx+c=0，令y=x+a[]3，得：

y3+py+q=0.(1)

其中p=b-a2[]3，q=2a3[]27-ab[]3+c,考慮等式

(u+v)3=u3+v3+3(u+v)uv.

即（u+v)3-3(u+v)uv-(u3+v3)=0.（2）

比較（1）和（2），令y=u+v，則方程（2）變為：(u+v)3+p(u+v)+q=0，其中

p=-3uv,

q=-u3+v3.

即u3v3=-p3[]27,

u3+v3=-q.（3）

易解得（3）的根為：u3,v3=-q[]2±q[]22+p3[]27.

可得到y=3[]-q[]2+p3[]27+q2[]4+3[]-q[]2-p3[]27+q2[]4.

進而可得到原方程根x的值.

在卡爾達諾的《大法》之中也包括了費拉里求解四次方程的方法：

對于x4+ax3+bx2+cx+d=0，令y=x+a[]4，則原方程可變為：

y4+py2+qy+r=0.（4）

其中p=b-6a[]42,

q=c-a[]cb+a[]23，

r=d-a[]4c+a[]42b-3a[]44.

（4）移項，得：y4+py2=-qy-r.（5）

（5）等式左邊配方，得：y2+p[]22=-qy-r+p[]22.

在左端括號內加u得：y2+p[]2+u2=-qy-r+p[]22+2uy2+pu+u2.（6）

則右端應為完全平方數，故有：

Δ=4×2up2[]4+pu+u2-r-q2=0.

即：8u3+8pu2+(2p2-8r)u-q3=0.（7）

（7）顯然為可解的三次方程，解答該方程就可得到u的值.

則（6）就變為y2+p[]2+u2=2uy-q[]22u2.

ヒ虼擻衴2+p[]2+u=2uy-q[]22u.

此為二次方程很容易得到y的值，進而得到原方程的根x的值.

自此許多的數學家開始運用不同的方法進行一元三次、一元四次方程求解，其中代表人物有韋達、車恩豪斯、歐拉、貝祖等.但真正開始將一元三次、一元四次方程作為一類問題進行處理，試圖尋找一種統一的解法的是車恩豪斯.車恩豪斯認真分析前人解一元三次、一元四次方程的各種方法，由此提出了自己獨特的解代數方程的方法，他通過消去方程的中間項，使方程變為只有最高次項和常數項的二項方程，而此二項方程是很容易得出其根的，進而原方程的根就可以求得.貝祖和歐拉解三次、四次方程的方法只是車恩豪斯方法的特例而已，車恩豪斯解三次、四次方程的方法并沒有卡爾達諾等人的簡單，但這種方法更直接、更一般，有利于研究更高次的方程的求解.

三、結 語

從細節上來講解答一元三次、一元四次方程的方法還不止這些，但正如拉格朗日所說：通過分析我們明白一切方法的基礎都是一樣的，因此所達到的結果是必然相同的.因此一元代數方程的求解進入了困境，一元三次、一元四次方程的求解已經徹底解決，并且方法也豐富多樣，遺憾的是無論是采用特殊的技巧還是試圖用一種一般的、通用的方法都沒有能解答出五次及五次以上的方程，或者說將已知的方法推廣到五次及五次以上方程上去，法國偉大的數學家拉格朗日出場了，正是因為有前面這些數學家的辛勤工作才使得拉格朗日提出了新的理論進行代數方程求解，所以研究前人的工作有利于我們深入了解整個代數方程求解歷史.