淺談概率知識在實際生活中的應用

蘇瑩

概率與我們的日常生活息息相關，當我們過馬路的時候，當我們上保險的時候，當我們買彩票的時候，當我們打甲流疫苗的時候，我們都在和不確定性打交道.這種不確定性體現的就是概率.生活中的大部分問題實際上都是概率問題，比如：氣象預報、經濟預測、醫療診斷、農業育種、交通管理，等等.總之，它已經滲透到了現代生活的方方面面.在概率論與數理統計已獲得當今社會的廣泛應用，概率已成為日常生活的普遍常識的今天，對現實生活中的概率問題進行研究就顯得十分重要了.下面通過幾個日常生活中常見的問題來闡述概率的廣泛應用性.

一、公平抽簽問題

在我們的現實生活中，有時會用抽簽的方法來決定一件事情.有的人會認為先抽抽到的機會比較大，也有的人持不同的意見.那么抽簽的先與后到底會不會影響公平性呢？

例1 某班級只有一張晚會入場券，而有10名同學都要參加，教師采用抽簽的方式來確定這張入場券給誰.那么誰抽中與否跟抽簽的順序有關嗎？

分析 設給10個同樣大小的球編號，抽到1號球得晚會入場券.

設A璱：第i個人抽到1號球（i=1，2，…，10）.

則P(A1）=1[]10，

P（A2）=P（A1）P（A2|A1）+P（〢1）P（A2|〢1）=0+9[]10·1[]9=1[]10，（全概率公式）

P（A璱)=P(〢1·〢2·…·〢﹊-1狝璱)

=P(〢1)P(〢2獆〢1)·㏄(〢3獆〢1·〢2)·…·P（A璱|〢1…〢﹊-1)=9[]10·8[]9·…·10-i+1[]10-i+2·1[]10-i+1=1[]10.（乘法公式）

由上式可知：當一個人抽簽時，若他前面的人抽的結果都不公開時，那么每個人抽到的概率都相等，也就是說抽簽的順序不會影響其公平性.

二、生日緣分問題

最近，我們在電視廣告上會經常看到通過發短信尋找生日相同的有緣人，而且在平常生活中我們也偶爾會遇到某某與某某生日相同的巧合，他們會被認為是很有緣分.可是我們仔細地想一想能碰上這種“巧合”的機會是否真的很難得呢？

分析 我們可以從相反的情況入手：對于任意兩個人，他們生日不同的概率是：P（〢2）=365[]365×364[]365=365×364[]3652，其中A2代表兩個人的生日相同.那么對于三個人來說，三人生日都不同的概率為P(〢3)=365[]365×364[]365×363[]365=365×364×363[]3653，若有m個人在一起，其中任意兩個人生日都不同的概率為：P(〢璵)=365×364×…×(365-m+1)[]365琺，因此，在m人中最少有兩個人生日相同的概率為：P(A璵)=1-P(〢璵)=365×364×…×（365-m+1)[]365琺.

若令m=50，則P(A璵)=0.9705.由此可以得出，在50人中幾乎就出現了“最少有兩個人生日相同的”的情況，通過計算當m=23時，就有一半以上的機會碰到生日相同這種巧合.

通過以上的分析我們不難看出，其實通過簡單的概率計算就能得出這種生日相同的緣分并不是很難遇到，但倘若真的遇到了生日相同的陌生人，其實也是一種意外的緣分吧.

三、排隊等待問題

排隊現象也是日常生活中常見的現象,在銀行、超市和火車站，我們經常需要排隊.我們也多次遇到這種情況：兩條隊看起來一樣長，不知該排哪隊好，或者是排了一段時間又放棄排隊.其實這樣的排隊問題也可以用概率來分析.

例2 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分為單位）服從指數分布，其概率密度為：f璛(x)=1[]5e-x[]5(x>0),f璛(x)=0(x≤0).某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘，他就離開.他一個月要到該銀行5次.以Y表示他一個月內未等到服務而離開窗口的次數，那么他未等到服務次數大于1的概率會是多少？

分析 由題意該顧客在窗口未等到服務而離開的概率為：

P=А+∞[]10f(x)玠玿=А+∞[]101[]5e-x[]5玠玿=e-2.

顯然Y~B(5,e-2).

所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-e-2)5=0.5167.

由此可以看出該顧客1個月5次中大于1次未等到服務的概率還是蠻大的.

通過上面的概率分析，我們看出那些為顧客提供服務的部門或公司，應根據各自的業務情況，做恰當的人員調整，盡量使每位來訪的顧客所等待的時間盡可能的少.

四、保險投資問題

當今社會各式各樣的保險充斥著我們的生活，當保險公司的工作人員向我們推銷保險的時候往往是說得天花亂墜，不懂行的人會認為他們所描述的各種情況絕對是對自身有利的，有的人也會認為保險公司這么干不明顯是賠本生意嗎？其實并不然.否則的話為什么還會有那么多的保險公司，那么多的保險種類呢？我們同樣也可以利用概率進行分析說明.

例3 某保險公司有10000個同齡又同階層的人參加人壽保險.已知該類人在一年內死亡的概率為0.006.每個參加保險的人在年初付12元保險費，而在死亡時家屬可向公司領取1000元.那么在此項業務活動中保險公司虧本的概率是多少呢？另外保險公司獲得利潤不少于40000元的概率又會是多少呢？

分析 設在10000人中一年內死亡的人數為X，則X~B（10000，0.006).保險公司一年收取10000×12=120000（元）保險費，所以僅當每年死亡人數超過120人時，公司才會虧本，當每年人數不超過80人時公司獲利就不少于40000元.

由此可知，

（1）公司虧本的概率即為P(X>120)=1-P(X≤120)=1-狿X-60[]59.64≤120-60[]59.64≈1-Φ(7.7693)=0.

也就是幾乎保險公司在此項業務上是絕對不會虧本的.

（2）獲利不少于40000元的概率為P(X≤80)=㏄X-60[]59.64≤80-60[]59.64≈Φ(2.5898)=0.9952.

也就是保險公司幾乎100%盈利不少于40000元.

由上述例子可以看出，干保險絕對不是虧本的買賣.因此當我們在選擇各類保險來保障我們生活的時候千萬不要聽那些工作人員的恣意吹噓，一定要慎重選擇，慎重投保.

五、遺傳病檢測問題

據有關資料顯示，每年的新生兒中1.3%有先天性缺陷，這其中70%~80%是由遺傳因素引起的.我們都知道遺傳疾病是難治愈的疾病，幾乎患者是終身攜帶的.它固然可怕，但如果早做預防，進行遺傳咨詢，就能有效地控制甚至減少遺傳病患兒的降生.其實這其中也運用了概率的思想.

例4 一個正常的女人與一個并指（Bb）的男人結婚，他們生了一個白化病（aa）且手指正常的男孩，那么基于這樣的情況他們后來的子女中只患一種病甚至不患病的概率各是多少呢？

分析 由題意知雙親基因類型分別是Aabb和AaBb.

記：A：患白化病 B：患并指オ

（1）后代只患一種病包括“只患白化病不并指”和“只患并指不患白化病”兩種情況.概率P=P（A〣+〢狟）=㏄（A〣）+狿（〢狟）=P（A）P（〣）+P（〢）P（B）=1[]4×1[]2+1[]2×3[]4=1[]2.

（2）后代不患病的概率P=P(〢 〣+AB)=3[]4×1[]2=3[]8.由此可知該對夫婦生一個健康的孩子的可能性比較低.

由上面的例子可以看出，對于某種遺傳病可以通過有關概率的計算預測患病可能性的高低，然后再結合相應的醫學治療來進一步控制遺傳病患兒的出生，達到優生的目的.

以上僅僅通過五個生活中常見的例子來闡述概率在現實中的應用，其實它的應用又何止如此呢.可以說概率的足跡已經深入到了每一個領域，在實際問題中的應用隨處可見，認識并充分發揮其作用，遠非一朝一夕所能完成的.但是我們相信人類能夠更好的“挖掘概率的潛能”，使之最大限度地為人類服務.