圓錐曲線離心率e

夏建躍

以往和同學(xué)們談及高考數(shù)學(xué)，大家似乎都有同感：高中數(shù)學(xué)難，解析幾何更是難中之難.現(xiàn)在不同了，隨著新課改、新課程方案的頒布，江蘇的高考對(duì)解析幾何的要求降低，縱觀近幾年的新高考，通?？疾橐粋€(gè)填空題、一個(gè)中檔題.填空題考查以圓錐曲線的定義和離心率為重點(diǎn)，大題目以橢圓環(huán)境下的直線與圓位置關(guān)系為重點(diǎn).所以現(xiàn)在解析幾何題以中檔題為主，是我們大家拿分的題目.那么我們高考復(fù)習(xí)要立足于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的掌握，但要避免簡(jiǎn)單的重復(fù)和羅列，要在提高上下工夫，因此復(fù)習(xí)時(shí)要凸現(xiàn)┱氌對(duì)性、啟發(fā)性、概括性、綜合性，要把關(guān)聯(lián)知識(shí)綜合起來(lái)復(fù)習(xí)，形成一個(gè)較為完整的知識(shí)體系.

求與離心率e有關(guān)的問(wèn)題是近幾年江蘇高考解析幾何題常?？疾榈囊活愵}，它涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，所以難度也較大，且能很好地考查學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但是學(xué)生往往因?yàn)榻⒉涣瞬坏仁疥P(guān)系，或理不清思路感到無(wú)從下手.由離心率e=c[]a，則要求離心率e,就要求a,b,c的關(guān)系.所以要在題目條件中尋找a,b,c的關(guān)系.

本文通過(guò)幾個(gè)例題談?wù)剮最惓Ｒ?jiàn)的求離心率e的解題策略.

一、利用圓錐曲線的定義求離心率

例1 （2009年全國(guó)卷Ⅱ理）已知雙曲線C:x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為3的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，若〢F=4〧B,則雙曲線的離心率為().

獳.6[]5 B.7[]5 C.5[]8 D.9[]5

解 設(shè)雙曲線C:x2[]a2-y2[]b2=1的右準(zhǔn)線為l,過(guò)A,B分別作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D,由直線AB的斜率為3,知直線AB的傾斜角為60°,∴∠BAD=60°,|AD|=1[]2|AB|.

由雙曲線的第二定義有

﹟AM|-獆BN|=|AD|=1[]e(|〢F獆-|〧B獆)=1[]2|〢B獆=1[]2（|〢F獆+獆〧B獆）.

又 ∵〢F=4〧B,∴1[]e·3|〧B獆=5[]2|〧B獆,∴e=6[]5.故選獳.

二、利用圓錐曲線的范圍

例2 （2009年重慶卷理）已知雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0)，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使玸in玃F1F2[]玸in玃F2F1=a[]c，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．

解 因?yàn)樵凇鱌F1F2中，由正弦定理得

PF2[]玸in玃F1F2=PF1[]玸in玃F2F1.

則由已知，得a[]P1F2=c[]P1F1，即aPF1=cPF2，且知點(diǎn)P在雙曲線的右支上.

設(shè)點(diǎn)(x0,y0)，由焦點(diǎn)半徑公式，得PF1=a+ex0,PF2=ex0-a，則a(a+ex0)=c(ex0-a).

解得x0=a(c+a)[]e(c-a)=a(e+1)[]e(e-1).由雙曲線的幾何性質(zhì)知﹛0>猘,則a(e+1)[]e(e-1)>a，整理得e2-2e-1<0,解得-2+1

三、利用三角函數(shù)的有界性

例3 橢圓x2[]a2＋y2[]b2＝1(a>b>0)與x軸正方向交于點(diǎn)A，如果在這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)P使OP⊥OA，O為原點(diǎn)，求橢圓離心率e的范圍.

解 設(shè)P（a玞osθ,b玸inθ）θ≠kπ玔]2,k∈Z.

∵OP⊥OA,∴b玸inθ[]a玞osθ·b玸inθ[]a玞osθ-a=-1.化簡(jiǎn)，得

a2[]b2=玞osθ(1-玞osθ)[]1-玞os2θ=玞osθ[]1+玞osθ=a2-c2[]a2=1-e2.

∴e2=1[]1+玞osθ.∴e2∈1[]2,1,∴e∈2[]2,1.

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵在于建立e和三角函數(shù)的關(guān)系式，再利用三角函數(shù)的取值范圍求出e的范圍，是一種常見(jiàn)的求e的方法.

除以上三種常見(jiàn)的求離心率e的解題策略，還有借助已知不等式求解和借助一個(gè)參數(shù)的范圍求解，在此不一一舉例.

縱觀近幾年江蘇高考對(duì)解析幾何的考查會(huì)保持相對(duì)穩(wěn)定，即在題型、題量、難度、重點(diǎn)等方面不會(huì)有太大的變化.我們江蘇的考查還應(yīng)該以一個(gè)填空題、一個(gè)解答題為主，填空題考查圓錐曲線的基本概念，解答題以直線和圓的位置關(guān)系為主，可以簡(jiǎn)單與圓錐曲線聯(lián)系.