巧設直線方程x=ty+m

周艷軍

直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了解析幾何中直線、圓錐曲線兩部分的知識內容，還涉及函數與方程、不等式、向量、平面幾何、數列等許多知識，是高考命題的重點和熱點.此類考題綜合性極強，能力要求也極高，其中計算能力的要求尤為重要，因此我

們除了平時要注意計算能力的訓練外，還需注意優化解題過程.

通常情況下我們把直線方程一般設成點斜式、斜截式，但有時我們把直線設成x=ty+m的形式會大大地減小計算量.那么什么時候適合把直線設成x=ty+m的形式呢？

1.當圓錐曲線是拋物線y2=2px時，把直線設成x=﹖y+猰的形式可以使計算更簡捷

例1 在拋物線y2=4x上恒有兩點關于直線y=kx+3對稱,求k的取值范圍.

解 設點B,C關于直線y=kx+3對稱，由題意知直線BC的斜率不為0,

因此可設直線BC方程為：x=-ky+m.

代入y2=4x，整理得：y2+4ky－4m=0，①

設B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中點為M(x0，y0)，

則y0=(y1+y2)=－2k，x0=2k2+m，

∵點M(x0，y0)在直線y=kx+3上，

∴－2k=k(2k2+m)+3.

∴m＝－1[]k(2k3+2k+3).②

又 ∵直線BC與拋物線交于不同兩點,

∴①式的Δ=16k2+16m>0,把②式代入化簡得：

（k+1)·(k2-k+3)[]k<0，解得：－1

點評 本題把直線設成x=-ky+m使得直線和拋物線聯立得到的方程①簡潔,從而后續計算也變簡潔,若把直線BC方程設成y=-1[]kx+m,則計算量會增大.

2.當直線過x軸上某一定點M（m，0）,且題中涉及以M點為端點的向量相等時，把直線設成x=ty+m，也有助于減小計算量

例2 （2010全國卷2理）已知橢圓C:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)的離心率為3[]2，過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A,B兩點．若〢F=3〧B，則k=().

獳.1B.2C.3D.2

解 因為是求值，且是選擇題，由橢圓的離心率為3[]2可取橢圓方程為x2[]4+y2=1，

由題意知直線的斜率不可能為0,因此可設直線方程為x=ty+3，

聯立消去x，得(t2+4)y2+23ty-1=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），根據韋達定理有

y1+y2=-23t[]t2+4，y1y2=-1[]t2+4，①

由〢F=3〧B，得(3-x1，-y1)=3(x2-3,y2)，②

則-y1=3y2，代入①中可得t=2[]2，

所以k=2.故選獴.

點評 本題把直線設成x=ty+3，聯立消元后得到一個關于y的一元二次方程，而由②式可得到兩個等式3-﹛1=3(x2-3）和-y1=3y2，顯然選擇后者關系簡單得多，因此大大地減小了計算量.

3.當直線過x軸上某一定點M（m，0）,且直線的斜率不可能為零,但又可能不存在時,把直線設成x=ty+m，不但可以減小計算量,而且可避免討論斜率不存在的情況,從而簡化解題過程

例3 （2010湖北理）已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1,0）的距離減去它到y軸距離的差都是1.

(Ⅰ)求曲線C的方程；

（Ⅱ）是否存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有〧A·〧B<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解 （Ⅰ）設P(x,y)是曲線C上任意一點，那么點P(x,y)滿足：

(x-1)2+y2-x=1(x>0).

化簡得y2=4x(x>0).

（Ⅱ）設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).

設l的方程為x=ty+m，

由x=ty+m,

y2=4x

得y2-4ty-4m=0，Δ=16(t2+m)>0.

于是y1+y2=4t,

y1y2=-4m.①

又 〧A=(x1-1,y1),〧B=(x2-1,y2).

〧A·〧B<0(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+﹛2)+1+y1y2<0.②

又 x=y2[]4，于是不等式②等價于

y21[]4·y22[]4+y1y2-y21[]4+y22[]4+1<0.

(y1y2)2[]16+y1y2-1[]4［(y1+y2)-2y1y2］+1<0.③

由①式代入不等式③化簡得:m2-6m+1<0.④

對任意實數t，4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2-6m+1<0，即3-220,

由此可知，存在正數m，對于過點M(m,0)，且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有〧A·〧B<0，且m的取值范圍是(3-22,3+22).

總之,當我們在解決直線和圓錐曲線的有關問題時,除了平時要訓練自己扎實的計算能力外,還要注意仔細讀題,擇優解法,力爭達到事半功倍的效果.但當把直線設成x=ty+m時,由于此時不包含斜率為0的情況,因此解題時要注意檢驗,防止漏解,導致解題不嚴謹.