淺談含參數問題求參數取值范圍的幾種方法

崔啟

通過多年的高考試卷看，求參數的取值范圍問題一直是高考考查的重點和熱點，同時也是一個難點.考生有時會感到難度較大，以至于得分不高.經過多年的數學教學實踐，探求了一些解決含參數問題的有效方法.敘述如下.

一、分離參數法

所謂分離參數法也就是將參數與未知量分離于表達式的兩邊，然后根據未知量的取值范圍情況決定參數的范圍.這種方法可避免分類討論的麻煩，使問題得到簡單明快的解決.

例1 已知函數g(x)=x2-ax+4=0在［2，4］有零點，求a的取值范圍.

解 ∵函數g(x)=x2-ax+4在［2，4］上有零點，ァ嚳匠蘥(x)=x2-ax+4=0在［2，4］有實根.

ゼ捶匠蘟=x+4[]x在［2，4］有實根.

チ頵(x)=x+4[]x，則a的取值范圍等同于函數f(x)在［2,4］上的值域.

び ∵f′(x)=1-4[]x2=(x-2)(x+2)[]x2≥0在［2，4］上恒成立，

∴f′(x)在［2，4］上單調遞增.

∴f(2)≤ゝ(x)≤f(4)，即4≤ゝ(x)≤5，∴4≤a≤5.

當然此題還有其他的解法在此不給予說明.

二、主參換位法

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數與變量，但函數的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度.可把變元與參數換個位置，即把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數，再結合其他知識（轉化為一次或二次函數等問題即利用構造函數的思想），往往會取得出奇制勝的效果.

例2 若對于任意a∈(-1,1］，函數f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于0，求x的取值范圍.

分析 此題若把它看成a的二次函數，由于a,x都要變，則函數的最小值

很難求出，思路受阻.若視a為主元，從而轉化為關于a的一次函數，則給解題帶來轉機.

解 設g(a)=(x-2)a+x2-4x+4，把它看成關于a的直線，

由題意知，直線恒在橫軸下方.

所以g(-1)≥0,

g(1)>0.解得x<1或x=2或x≥3.

例3 若不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范圍.

解 設f(m)=m(x2-1)-(2x-1)，對滿足|m|≤2的m，f(m)<0恒成立，

∴f(-2)<0,

f(2)<0.∴-2（x2-1）-（2x-1)<0,

2(x2-1)-(2x-1)<0.

解得-1+7[]2

例4 對于（0，3）上的一切實數x,不等式(x-2)m<2x-1恒成立，求實數m的取值范圍.

分析 一般的思路是求x的表達式，利用條件求m的取值范圍.但求x的表達式時，兩邊必須除以有關m的式子，涉及對m討論，顯得麻煩.

解 若設f(x)=(x-2)m-(2x-1)=(m-2)x+(1-2m)，把它看成是關于x的直線，由題意知直線恒在x軸的下方.

所以f(0)≤0,

f(3)≤0.解得1[]2≤m≤5.

三、數形結合法

某些含參不等式恒成立問題，既不能分離參數求解，又不能主參換位轉為某個變量的一次或二次函數時，則可采用數形結合法，往往能迅速而簡捷地找到解題途徑.對于解含參不等式恒成立問題，我們可以先把不等式（或經過變形后的不等式）兩端的式子分別看成兩個函數，且畫出兩函數的圖像，然后通過觀察兩圖像（特別是交點時）的位置關系，從而列出關于含參數的不等式.

例5 若不等式3x2-玪og璦x<0在x∈0,1[]3內恒成立，求實數a的取值范圍.

解 由題意知：3x2<玪og璦x在x∈0,1[]3內恒成立，在同一坐標系內，分別作出函數y=3x2和y=玪og璦x的圖像，觀察兩函數圖像，當x∈0,1[]3時，若a>1函數y=玪og璦x的圖像顯然在函數y=3x2圖像的下方，所以不成立；

當0猘≥1[]27.綜上得：1>a>1[]27.

數學的深奧復雜性在于數學問題的千變萬化，參數問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強.這就要求我們要以變應變，在解題過程中，要根據具體的題設條件，認真觀察題目中不等式的結構特征，從不同的角度、不同的方向加以分析探討，從而選擇適當方法快速而準確地解出.當然除了以上的方法外，還有許多其他的方法，值得一提的是，各種方法之間并不是彼此孤立的.因此，系統地掌握參數問題的解題方法，無疑會對學生今后學習及培養學生分析問題和解決問題等方面有很大的幫助.