例談構造函數關系例談構造函數關系

夏宏明

函數是高中數學的主線，它用聯系和運動、變化的觀點研究、描述客觀世界中相互關聯的量之間的依存關系，形成變量數學的一大重要基礎和分支.函數思想以函數知識做基石，用運動變化的觀點分析和研究數學對象間的數量關系，使函數知識的應用得到極大的擴展，豐富并優化了數學解題活動，給數學解題帶來一股很強的創新能力，因此越來越成為數學高考長考不衰的熱點.

函數思想與方程思想的聯系十分密切.解方程f(x)＝0就是求函數y＝f(x)當函數值為零時自變量x的值.求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個數就是求函數y＝f(x)與﹜=猤(x)的圖像的交點或交點個數.合參數的方程f(x,y,t)=0和參數方程更是具有函數因素，屬于能隨參數的變化而變化的動態方程，它所研究的數學對象已經不是一些孤立的點，而是具有某種共性的幾何曲線.正是這些聯系，促成了函數與方程思想在數學解題中的互化互換，豐富了數學解題的思想寶庫.

在數學各分支形形色色的數學問題或綜合題中，將非函數問題的條件或結論，通過類比、聯想、抽象、概括等手段，構造某些函數關系，利用函數思想和方法使原問題獲解，是函數思想解題的更高層次的體現，構造時，要深入審題，充分發掘題設中可類比、聯想的因素，促進思維遷移.以下是筆者對構造函數關系的舉例.

例1 a為何值時，不等式a2＋2a－玸in2x－2a玞os玿＞2對任意實數x都成立.

分析 易想到分離變量a和x，轉化為a的二次函數的最值解決，但實際解題中卻無法直接從原不等式中分離出參數a，深入審題知思維屏障產生于玸in2x與玞os玿的不和諧性.以此為突破口，利用整體思想、換元，將原不等式先轉換為玞os玿的二次不等式，再利用新構造的函數關系求解.

略解 令t=玞os玿，則玸in2x＝1－t2，t∈［－1,1］,

不等式化為t2－2at＋a2＋2a－3＞0在t∈［－1,1］上恒成立.

設f(t)=t2－2at＋a2＋2a－3=(t－a）2＋2a－3.

當゛≤－1時，f(t)┆玬in＝f(－1)=a2＋4a－2；

當－1＜a＜1時，ゝ(t)┆玬in＝f(a)＝2a－3；

當a≥1時，f(t)┆玬in=f(1)=a2－2.

原問題等價于當t∈［－1，1］時f(t)┆玬in＞0.即所求的a值為下列不等式組的解.

(1)a≤-1,

a2+4a-2>0或(2)-1

2a-3>0

或(3)a>1,

a2-2>0.

依次解得a＜－2－6或a≠0或a＞2，故所求a的取值范圍是a＜－2－6或a>2.

點撥解疑 ①不等式恒成立問題的基本解法是轉化為函數最值問題，利用函數性質解決，但本題無法分離參數，不能轉化為例2中的較簡單情形，只好對含參數a的二次函數最值依對稱軸位置分情況討論，利用函數性質：f(t)＞0，對t∈［－1,1］恒成立等價于f(t)┆玬in＞0，t∈［－1，1］,使問題解決.

②在解題中綜合使用了函數思想、數形結合思想.分類討論思想和化歸思想及換元法，對思維品質要求較高.

例2 如圖，已知ABCD是邊長為4的正方形，E,F分別是AB,AD的中點，GC垂直于ABCD所在平面，且GC＝2，求點B到平面EFG的距離.

分析 距離的概念常由最小值定義，故可設法將點B到平面的距離通過構造函數關系，建立一個二次函數關系式，轉化為二次函數的最值解決.

解 連接AC,BD,EF,FG，分別交AC于H,O.因ABCD為正方形，故BD⊥AC，由已知易得BD與平面GEF內的直線GH是異面直線，由此可將點B到平面GEF的距離轉化為兩異面直線BD,GH的距離，建立兩異面直線上任意兩點距離的一個二次函數關系式.

在GH上任取一點K，作KL⊥AC，垂足為L，連接KO，設KL＝x.

利用玆t△KLH∽玆t△GCH，可得LO2=32[]2x-22.

∴KO2=獂2+32[]2x-22=11[]2x-6[]112+4[]11,(其中0≤x≤2).

所以KO的最小值為211[]11，即點B到平面EFC的距離.

點撥解疑 函數最值法求距離是函數思想應用的較高層次，解題的關鍵是在于選取變元構造恰當的二次函數，應注意積累有關技巧.

總之，函數與方程思想是最重要的一種數學思想，高考中所占比重較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多.函數思想即將所研究的問題借助建立函數關系式抑或構造中間函數，結合初等函數的圖像與性質，加以分析、轉化，解決有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題；方程思想即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決.