二次函數在高中階段的應用舉例

郭麗

二次函數的相關知識，學生在初中階段已經掌握了一部分內容，但是初中時期學生接受知識的能力有限，學習二次函數知識的方法很機械，不能從本質上加以理解和吸收.而進入高中階段后，雖然這部分知識沒有做具體的系統的學習，但是二次函數的應用卻始終貫穿其中，尤其是在學習了函數的定義域、值域、奇偶性、單調性等性質后，進入到高三總復習的時候，這部分知識更是顯得尤為重要，因此，對于二次函數的知識高中階段需要作進一步地深入研究.

對于這部分知識的復習，不能簡單地識記，可以結合二次函數的圖像來深入研究其性質，以便靈活地應用這些相關性質.

一、從函數概念本身來深入了解二次函數的意義

初中階段已經介紹了函數的定義，進入高中后在學習了映射的基礎上，接著重新學習了函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是以二次函數為例來加以更深認識函數的概念.二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A中的元素x對應，記為f(x)=ax2+bx+c(a≠0).這里y=ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的像.從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

（1）已知f(x)=2x2+x+2，求f(x+3).

這里不能把f(x+3)理解為x=x+3時的函數值，只能理解為自變量為x+1的對應函數值.

（2）設f(x+1)=x2－4x+1,求f(x).

這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的像是x2－4x+1，求定義域中元素x的像，其本質是求對應法則.

二、利用二次函數的圖像解一元二次不等式

掌握一元二次不等式的解法是對高中學生最基本的運算要求.對于這部分知識的講解，利用二次函數的圖像最直觀、最清晰，學生也容易從圖像中發現一元二次不等式和二次函數的區別與聯系，易于掌握，便于理解.

高中階段涉及一元二次不等式的解法的應用很多，例如：

(1) 在區間［-1,4］上隨機取一個數x,求（x+2）(x-1)≤0的概率.

(2) 求函數的定義域：y=x2-2x.

(3) 求函數f(x)=x3-3x2-10的單調區間.

三、利用二次函數的單調性求值域及最值

在學習函數的單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間－∞，－b[]2a及－b[]2a，+∞上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖像的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖像學習二次函數有關的一些函數單調性.

例如：畫出下列函數的圖像，并通過圖像研究其單調性.

（1）y=x2+2|x－1|－1.

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系，掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖像.

（2）設f(x)=x2－2x－1在區間［t,t+1］上的最小值是g(t).求g(t)并畫出y=g(t)的圖像.

解 f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時取最小值－2.

當1∈［t,t+1］即0≤t≤1，g(t)=－2；

當t＞1時，g(t)=f(t)=t2－2t－1；

當t＜0時，g(t)=f(t+1)=t2－2.

g(t)=t2－2,(t<0)，

-2，(0≤t≤1)，

t2－2t－1,(t>1).

四、二次函數知識的綜合運用

例如：設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程ゝ(x)－獂=0的兩個根x1，x2滿足0

(1)當x∈(0,x1)時，證明x

(2)設函數f(x)的圖像關于直線x=x0對稱，證明﹛0<獂[]2.

解題思路 本題要證明的是x

二次函數是貫穿初高中數學教學的重點,也是歷年高考的熱點,更是學生學習中的一個難點.在初、高中階段,教材對其處理方式是不同的.初中階段,教材是在明處讓學生在全體實數上感知二次函數的整體性態;而高中階段,教材則在暗處用后繼知識不斷深化對二次函數的認識和運用.因此,在高中階段,教師應引導學生打破思維定式,用后繼知識不斷充實對其新的認識和理解,化暗為明,讓其豐富的內涵得到充分的展現和深化二次函數.