例說“化折為直”思想在高中數學解題中的應用

江一峰

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”，記錄了將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬后，再回到B點宿營的活動過程（如圖1）.人們自然會提出這樣一個問題：飲馬點該選在何處才能使總行程最短.無獨有偶，古希臘的一位將軍更是把這個問題提交給數學家海倫求解.于是，這個問題就有了它的專有名稱——將軍飲馬.

圖 1其實，“將軍飲馬”抽象成數學問題即為：點A，B在直線MN的同側，在MN上求一點S，使㏒A+猄B為最小.海倫的解法十分巧妙，作點A關于軸MN的對稱點A′,A′B與MN的交點S就是所求之點.理由是對于MN上任一點S′,S′A+S′B=S′A′+S′B≥A′B=AS+SB.

探究其解題的思想方法，采用的是“化折為直”的方法，依據是平面幾何中的公理：連接兩點的線中以直線段為最短.這一數學思想方法在數學解題中會經常得到運用.下面舉例說明之.

圖 2例1 如圖2，已知正方形ABCD內有一正三角形ABE，試在其對角線AC上找一點P，使PD+PE最小.

解析 因為點D，E在直線AC的同側，很明顯，例1

就是將軍飲馬問題.點D關于直線AC的對稱點為B,

所以PD=PB,從而只需PB+PE最小即可，故當P，B，E三點共線時PB+PE最小,即點P在直線AC與直線BE的交點時PD+PE最小，最小值就是正方形的邊長.

圖 3例2 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，A(a,0)，B(a+5,0)，C(7,9)，D(5,5)，當四邊形ABCD周長最小時，求實數a的值.

解析 因為線段AB=5，CD=25均為定值，

所以，欲使四邊形ABCD周長最小，只需AD+BC最小即可.

過A作AE∥BC且AE=BC，則問題轉化為求AD+AE最小，如此，問題又轉化成將軍飲馬問題，不難求得a=55[]14.

“化折為直”思想方法的用武之地有時候并不是一眼就可發現，往往在隱蔽之中，需要具備較強的洞察能力.

圖 4例3 如圖4，在平面直角坐標系xOy中，A(2,8)，B(6,2)，試在x軸上求一點Q,y軸上求一點P，使折線APQB最短.

解析 怎樣把折線APQB“化直”而使之為最短呢？先

作A關于y軸的對稱點A′，再作B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，分別交x軸、y軸于點Q和點P，則此時折線APQB最短，最小值為241.

如果把上題中的直角坐標系改成一般的仿射坐標系，那么就有下面的問題，解法與例3如出一轍，不再贅述.

例4 若∠AOB=θ(0°<θ<90°),M,N是∠AOB內兩點，試在邊OA,OB上各找一點P，Q，使得折線APQB最短.

從上面幾題的解答中，容易看出能否“化直”是解題的關鍵，但有時怎樣“化直”是要動一番腦筋的.

圖 5例5 如圖5，在直線l:3x-y-1=0上求一點P，使得P到A(4,1)和B(0,4)距離之差最大.

解析 與將軍飲馬問題相比較，不同之處在于兩定點位于

定直線的兩側，并且是求距離差，因此需先作出距離差，而后再去求它的最大值，進而確定P點的位置.為此，可先作點B關于已知直線的對稱點B′(3,3)，直線AB′與直線l的交點即是所求的P點，其坐標為(2,5).為什么這個點符合題中的要求呢？乃因為把差“化了直”.事實上，倘若不是P點而是圖中的D點，那么就有﹟DB-狣A|=|DB′-DA|

有時候對“化直”的對象需進行深入推敲，所選對象準確對于問題解決是至關重要的.

例6 求函數y=(x-1)2+4+(x-3)2+9的最小值.

解析 本題采用代數的方法去求解運算會很麻煩，而應用數形結合的思想方法去求解就十分便捷.可把(x-1)2+4看成點(x,0)到點(1,2)的距離，又可把(x-3)2+9看成點(x,0)到點(3,3)的距離，故問題轉化為在x軸上找一點，使其到點(1,2)及點(3,3)的距離和最小，這就是將軍飲馬問題，數形結合的結果為實施“化折為直”創造了條件.由兩點間直線距離最短知，點(1,-2)和點(3,3)的距離就是函數y=(x-1)2+4+(x-3)2+9的最小值，最小值為29.

最后，筆者在這里還要指出，兩個物理模型應引起我們足夠的重視，一是光的反射，二是物體的反彈.光的反射和運動物體的反彈都是可運用“化折為直”數學思想方法求解的問題.