滲透數學思想掌握解題方法

賀明亮

面對浩瀚的數學題海，我們不可能全部做完，我們只能以不變去應萬變，變換的是題型，但是不變的是解題方法.如何在教學過程中將解題方法很好地展示給學生，促進學生解題能力的提高是我們教師深思的問題.本文就高中數學解題，介紹了自己對數學解題方法的一點認識和體會.

一、高中數學解題的基本方法

美國著名數學教育家波利亞曾經說過，“學好數學就意味著要善于解題”.而當我們解題的時候遇到一個問題，總想用自己熟悉的題型去“套”，只有對數學解題方法理解透徹后，才能很好地將解題方法運用到解題過程中.下面以反證法為例：

反證法是一種間接證法.它是數學學習中一種很重要的證題方法.反證法證題的步驟大致分為三步：

（1）反設：作出與求證的結論相反的假設；

（2）歸謬：由反設出發，導出矛盾結果；

（3）作出結論：證明了反設不能成立，從而證明了所求證的結論成立.

其中，導出矛盾是關鍵，通常有以下幾種途徑：與已知矛盾，與公理、定理矛盾，與假設矛盾，自相矛盾等.

例1 給定實數a,a≠0，且a≠1，設函數y=x-1[]ax-1x∈R,且x≠1[]a，求證：經過這個函數圖像上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸.

證明 假設函數圖像上存在兩點M1,M2，使得直線M1M2平行于x軸.

設M1(x1,y1),M2(x2,y2)，且x1≠x2.由k㎝1M2=0，得

y2-y1[]x2-x1=x2-1[]ax2-1-x1-1[]ax1-1[]x2-x1=a-1[](ax2-1)(ax1-1)=0，

解得a=1.與已知a≠1矛盾.

故經過這個函數圖像上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸.

二、結合高考題分析解題方法

高考題非常重視對于教學方法的考查，以下是結合高考題分析解題方法.

例2 （2010年江蘇高考題）設f(x)是定義在區間(1,+∞)上的函數，其導函數為f′(x).如果存在實數a和函數h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0，使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1)，則稱函數f(x)具有性質P(a).

設函數f（x）=h（x）+b+2[]x+1（x>1），其中b為實數.

（1）求證：函數f(x)具有性質P(b)；

（2）求函數f(x)的單調區間.

（1）①證明 依據題目給的條件：f（x）=﹉(x)+猙+2[]x+1，

∴f(x)=1[]x-b+2[](x+1)2=x2-bx+1[]x（x+1）2.

這樣題目是：f′(x)=h(x)(x2-ax+1)，h（x）＞0具有P（a）性；在f（x）=x2-bx+1[]x（x+1）2中，只需要證明1[]x（x+1）2＞0即可.

∵x＞1，∴1[]x（x+1）2＞0,∴f（x）具有性質P（b）.

（2）判斷f（x）=x2-bx+1[]x（x+1）2的正負，只需要判斷x2-゜x+1在（1，+∞）上的正負；

而我們并不知道b的值，所以對b要進行一次分類討論（遇到影響判斷的未知數的時候，必然要進行分類，對未知數的取值范圍進行分類討論）.

當b≤2時（為什么是2，這個看二次函數的對稱軸），﹛2-猙x+1≥x2-2x+1=（x-1）2＞0（∵x＞1）.

此時，f（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函數.

當b＞2時，對于x2-bx+1＞0，可解：x＞b+b2-4[]2或x＜b-b2-4[]2（舍去）.

∴當b＞2時，x＞b+b2-4[]2時，f（x）＞0，f（x）在b+b2-4[]2,+∞上是增函數；x＜b+b2-4[]2時，f（x）＜0，f（x）在1，b+b2-4[]2上是減函數.

綜上：當b≤2時，f（x）的增區間為（1，+∞）；當b＞2時，f（x）的增區間為b+b2-4[]2,+∞，減區間為1，b+b2-4[]2.

本題考查了學生根據已知條件進行模仿推理判斷的能力（就是P(a)的判定），以及利用函數導數判斷單調性并進行適當的轉換（最后一問，把值的大小轉變成為自變量的大小），總體難度不是很大，沒有體現壓軸題應有的難度.這道題告訴我們，常見對數、指數、分數等的導數要會求解，不會求的話趕緊學.另外，最后一問的轉變非常有意思，對于學生關于函數的理解是一個非常不錯的考查.

三、總 結

學習是一門學問，講究技巧，學生一定要深刻理解基本概念、公式、結論的內涵和外延，并逐漸掌握它們的使用方法.試卷上一般是不需要考生默寫某個概念或公式，而是用這些概念或公式解決問題，這種靈活運用公式的能力只有也只能通過做題來獲得，數學知識要在理解的基礎上記憶，記住的東西只有通過做題才能鞏固和熟練應用.教學方法的總結過程其實也是一種知識學習與積累的過程,學生在做題過程中，逐漸熟練掌握并運用到解題中.只有熟練掌握解題方法，學生才能以不變應萬變，才會不斷提高.

【參考文獻】

［1］波利亞.怎樣解題.閻育蘇譯.北京：科學出版社，1982.

［2］羅增儒，羅新兵.作為數學教育任務的數學解題.數學教育學報（天津），2005（2）.