例說運用線性規劃思想解二元函數最值問題

張勇

線性規劃是高中數學中的新增內容,也是初等與高等數學的銜接內容,是高考的重點熱點.線性規劃思想在高中數學各個章節中都有應用,尤其在求有關二元函數的最值問題時，以下舉幾例說明，供參考：

一、在解析幾何中的應用

1.到點的距離問題

例1 已知x,y滿足y≤x,

x+2y≤4,

y≥-2,

則

S=x2+y2+2x-2y+2的最小值是.

解析 S=(x+1）2+（y-1)2表示可行域內的點到點(-1,1)的距離的平方,由圖可知當點取(0,0)時S的最小值為2.

2.到直線的距離問題

例2 已知x,y滿足不等式組

x+y-4≥0,

x-y+2≥0,

2x-y-5≤0,則ω=﹟x+2y-4|的最大值為.

解析 作出可行域,設P(x,y)是區域內任一點,則|x+2y-4|[]5表示點P到直線x+2y-4=0的距離,解x-y+2=0,

2x-y-5=0,得Q(7,9),由圖可知,當取點Q(7,9)時，ω的最大值為21.

3.兩點連線的斜率問題

例3 已知x,y滿足不等式組y≥0,

x-y≥0,

2x-y-2≥0，則ω=y-1[]x+1的取值范圍是.

解析 作出可行域,設P(x,y)為可行域內任一點,而│=獃-1[]x+1表示點P和點Q(－1,1)連線的斜率,且ω┆玬in=k㏎M=-1[]2,又由圖知ω<1,所以│亍濕-1[]2,1.

點評 (1)解線性規劃問題要先正確畫出滿足條件的可行域.

(2)要善于聯想目標函數所表示的幾何意義,如距離、斜率等.

二、在函數、方程與不等式中的應用

例4 已知函數f(x)=(4a-3)x+猙-2a,x∈［0,1］,若f(x)≤2恒成立,則a+b的最大值為.

解析 由題意得f(0)≤2,

f(1)≤2,解得b-2a≤2,

2a+b≤5,

令z=a+b,作圖令橫軸為a軸,縱軸為b軸,由線性規劃知識可得在點3[]4,7[]2處z取得最大值17[]4.

三、在概率問題中的應用

例5 甲乙二人互相約定6：00~6：30在預定地點會面，先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離開,求甲乙二人能會面的概率.（假定他們在6：00~6：30內的任意時刻到達預定地點的機會是等可能的.）

解析 設甲乙二人到達預定地點的時刻分別為x，y.

則由題意知0≤x≤30,

0≤y≤30,

由“二人會面”可得|x-y|<10，

在直角坐標系中畫出0≤x≤30

0≤y≤30

的對應平面區域為正方形，且面積為302=900；畫出|x-y|<10的對應平面區域為區域A，且面積為302-2×1[]2×(30-10)2=500.

所以由幾何概型可得所求概率為P=500[]900=5[]9.

答 兩人能見面的概率為5[]9.

從以上幾例看出，在求有關二元函數的最值問題時，注意利用線性規劃思想,聯想目標函數的幾何意義,合理恰當轉化將使問題解決簡潔明了.