函數的數學期望在解題中的應用

張秀海

【摘要】本文先引用了一個定理，接著通過兩個例子闡述了函數的數學期望在一些期望求解問題中的應用能夠大大簡化其解題過程.

【關鍵詞】隨機變量;函數;數學期望オ

在實際應用中，常常需要求隨機變量函數的數學期望.例如，Y=g(X)，要求E(Y)，我們可以不必求出Y的分布，而直接由X的分布來求E(Y).

定理 設隨機變量Y是隨機變量X的函數，Y=g(X)（g為連續函數）.

（1）設Ｘ為離散型隨機變量，其分布律為

p{X=x璳}=p璳,k=1,2,….

若級數А啤轠]k=1g(x璳)p璳絕對收斂，則有

E(Y)=E［g(X)］=А啤轠]k=1g(x璳)p璳.

（2）設Ｘ為連續型隨機變量，其概率密度為f(x).

若積分А要+∞-∞g(x)f(x)玠玿絕對收斂，則有

E(Y)=E［g(X)］=А要+∞-∞g(x)f(x)玠玿.

這個定理說明在求Y=g(X)的數學期望時，只需知道X的分布即可.這使得許多題目的解題過程大為簡化.

例1 設二維隨機變量（X,Y)的概率密度為

f(x,y)=Ax(1+3y2),0

0, 其他.

求A，E（X）和EY[]X.

解 由А要+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)玠玿玠珁=1，即А要10∫20Ax(1+3y2)玠玿玠珁=1，得A=1[]4，所以

f(x，y)=1[]4x(1+3y2),0

0, 其他.

故所求數學期望分別為

E（X）=А要+∞-∞ИА要+∞-∞xf(x,y)玠玿玠珁=おА要10∫201[]4x2(1+3y2)玠玿玠珁=4[]3，

EY[]X=А要+∞-∞ИА要+∞-∞y[]xf(x,y)玠玿玠珁=А要10∫201[]4y(1+3y2)玠玿玠珁=5[]8.

例2 設總體X的概率密度為

f(x)=1[]2σe-|x|[]σ,-∞<﹛<∞,

其中σ>0是未知數.設X1,X2,…,X璶為總體X的樣本.

（1）求參數σ的最大似然估計量；

（2）判斷是否為σ的無偏估計量.

解 （1）設x1,x2,…,x璶是X1,X2,…,X璶的觀測值，則似然函數

L=А莕[]i=11[]2σe-|x|[]σ=1[]2σ琻e┆-1[]σ∑n[]i=1|x璱|,

取對數，得

玪n獿=-n玪n2σ-1[]σА苙[]i=1|x璱|.

令玠ln獿[]玠σ=0，得=1[]nА苙[]i=1|x璱|，

σ的最大似然估計量為=1[]nА苙[]i=1|x璱|.

（2）設隨機變量Y=|X|，則

E(Y)=E(|X|)=А要+∞-∞|x|1[]2σe-|x|[]σ玠玿=2А要+∞0x1[]2σe-x[]σ玠玿=σ，

所以E()=E1[]n∑n[]i=1|X璱|=E1[]n∑n[]i=1Y璱=1[]n∑n[]i=1E(Y璱)=σ,

即是σ的無偏估計量.

在例1中，如果依常規思路按照連續型隨機變量數學期望的定義E(X)=А要+∞-∞獂f(x)玠玿В則在求解EY[]X時，需先知道隨機變量Z=Y[]X的概率密度，這將使得問題大大地復雜化，而隨機變量函數的數學期望在此處的應用使得解題簡單明了.同理，在例2中，在解第（2）問時，依常規思路按應先求的概率密度，這是十分不容易的，此處先應用隨機變量函數的數學期望知道E(Y)=E(|X|)=σ是定值，再利用數學期望的性質E∑n[]i=1X璱=∑n[]i=1E(X璱)有E1[]n∑n[]i=1Y璱=1[]n∑n[]i=1E(Y璱)，進而E()=E1[]n∑n[]i=1|X璱|=E1[]n∑n[]i=1Y璱=1[]n∑n[]i=1E(Y璱)=σ.通過這兩個例子，我們可以總結：在求解期望的問題中，如果依常規思路概率密度不容易求解，就可以嘗試應用函數的數學期望來求解問題.

【參考文獻】

［1］周圣武.概率論與數理統計（第二版）.北京：煤炭工業出版社，2007：95-98.

［2］王雪琴.隨機變量的函數的數學期望.渭南師范學院學報，2002，17（2）:47-48.