一類四邊形問題的解題策略

顧棟明

美國數學邀請賽（AIME)試題新穎別致、內容廣泛、靈活性強，是公認的既適應大眾學生，又不失為較好區分度考查學生能力的好題.正因為AIME的這種優越性，其中尤以平幾題的這種命題風格，正在影響著我國的中考、高考選學內容平幾題的命題，本文以AIME中有關特殊四邊形形式出現的題目為例，試談這類題的解題策略，以求對現實的教學有一定的借鑒意義.

一、要重視利用特殊四邊形的性質，尤其是與題中已知與所求直接關聯的元素所擁有的性質

例1 正方形AIME的邊長為10，等腰三角形GEM的底是EM，若△GEM與正方形AIME的公共部分的面積為80，求△GEM的底邊EM上的高.（2008年第26屆獳IME）

圖 1分析 如圖1所示，設等腰△GEM底邊上的高為h，GE和GM分別交AI于點B，C，有△GEM與正方形AIME的公共部分的面積為80，又注意到S┨菪蜝CME=S△GEM-S△GBC及AI∥EM，得到△GEM∽△GBC，故有h-10[]h=BC[]10，BC=10h-100[]h，則80=1[]2h-1[]210h-100[]h(h-10),化簡，求得﹉=25.

圖 2例2 如圖3所示，六邊形ABCDEF被分成5個菱形P,Q,R,S,T.菱形P,Q,R,S是全等的，面積都為2006,令K為菱形T的面積，已知K是正整數，試求K的所有可能值的個數.（2006年第24屆獳IME）

分析 在本題中，首先想到的是要用已知四個全等的菱形面積數據去求另一菱形的面積，考慮到菱形面積的求法：一是一邊與其邊上的高乘積的一半，二是其對角線的乘積的一半，據此探索.

如圖所示，作菱形T的對角線，設Z是其交點，X，Y是菱形P和菱形T的公共頂點，Y在AB上，設YZ=x,XY=z,則2006=FX·YZ=zx,故z=2006[]x.

則K=1[]2·(2YZ)·(2XZ)=1[]2·2x·(2z2-x2)=2x2006[]x2-x2=8024-4x4.

因為8024=89，所以有89個正的x使得8024-4x4是一個正整數的平方，因此K一共有89個可能的值.

在本題求解中，充分利用了菱形各邊相等與菱形對角線互相垂直平分等性質，如菱形AFXY中，FX=XY；如菱形XYWG中，YG⊥XW，且XZ=ZW，YZ=ZG.

二、要善于運用特殊四邊形的性質，構建起關系式，并且能注意到元素間的替代與轉換，實現解題的順暢進行

例3 如圖3，正方形ABCD的邊長為1，點E，F分別在BC，CD上，且△AEF是等邊三角形，另有一小正方形以B為頂點，各邊分別與ABCE的各邊平行，且有一頂點在線段AE上，若小正方形的邊長為a-b[]c，其中a，b，c均為正整數，且b不能被任何素數的平方整除，試求a+b+c的值.（2006年第24屆獳IME）

分析 此題是依賴于大正方形的邊長求小正方形的邊長，目標找出兩者的聯系.若設小正方形的邊長為x，則利用已知構建起含有x的等式，嘗試解之.

圖 3如圖所示，設小正方形為BQPO，點Q在線段AB上.設BQ=x，則QP=x，〢Q=獂玹an75°.因此1=AQ+QB=﹛（玹an75°+1）=（3+3）x，故x=1[]3+3=3-3[]6.所以a+b+c=12.

由于，我國現行教材關于玹an75°的值為非要求學生掌握的特殊角值，本題也可不用玹an75°的三角法求解，借助相似三角形的比例式與勾股定理關系式，建立方程求解.

或者，為避開玹an75°非特殊角值，可將等邊三角形AEF改為頂角為30°的等腰三角形（或敘述為AE，AF是∠DAB的三等分線），這時，小正方形的邊長a-b[]c形式變為a-b[]c,試求a+b+c的值.

當然，本題也可演變為以下形式：等邊三角形ABC邊長為2，等腰直角三角形DEF的頂點D在BC的中點上，邊EF平行BC，另有一小正方形GHJK的一邊與EF重合，另兩頂點K，J分別在AB，AC邊上，試求小正方形的邊長.

例4 如圖4，在長方形ABCD中，AB=12，BC=10.點E，F在長方形ABCD內，且滿足BE=9,DF=8，BE∥DF，EF∥AB，直線BE與線段AD相交，線段EF的長度可表示為mn-p的形式，其中m,n,p都是正整數，且n不能被任何質數的平方整除.求m+n+p.（2011年第29屆獳IME）

圖 4分析 如圖4所示，設BE與AD交于G，DF與BC交于H，EF分別交AD于M，交BC于N，過E作EK⊥AB于K，過F作FJ⊥CD于J.

因為BG∥DF，DM∥BN，有△DFM∽△GEM∽△BEN，于是，DF[]BE=DM[]BN，8[]9=DM[]BN，8+9[]9=DM+BN[]BN=CN+BN[]BN=BC[]DN，BN=9[]17BC=90[]17.在玆t△EBK中，

BK=BE2-EK2=BE2-BN2=92-90[]172=27[]1721.

同理可得，DJ=24[]1721.

所以，EF=NE+MF-MN=BK+DJ-AB=27[]1721+24[]1721-12=321-12，故有m+n+p=36.

三、要充分挖掘特殊四邊形隱含的相關性質，其中不添置適當的輔助線，將其性質顯性化后，搭建起已知與所求之間的橋梁，幫助解題

例5 如圖5所示，將一張長方形紙ABCD中頂點為B的一角折起來，使得頂點B與AD邊上的點B′重合，設折痕為EF，其中E點在AB邊上，F點在CD邊上，已知AB=8，〣E=17，CF=3，長方形ABCD的周長為n[]m，其中m,n為互素的正整數，試求m+n的值.（2004年第22屆獳IME） 圖 5

分析 注意到折疊產生了以EF為對稱軸的軸對稱圖形，有〣′E=狟E=17.在玆t△EAB′中，由勾股定理求得AB=15；連接BB′，有〦F⊥狟B′，作FG∥CB交AB于G，顯然有GE=17-3=14，△EGF∽△B′AB.故FG[]BA=GE[]AB′，解得〧G=70[]3.所以，長方形ABCD的周長為70[]3+25×2=290[]3，則m+n=293.

關于圖形的折疊與旋轉是近年中考題中命題概率高的一個趨向，它將靜態的平面圖形置于一定的運動變化中，在不同的對稱中，蘊含了相等、全等、垂直、平行、相似等眾多關系，考查學生的觀察、分析能力.本題的關鍵是利用軸對稱的關系，找到△EGF∽△B′AB.

本題的另一解法是：設長方形對邊AD=BC=x,B′D2+DF2=B′F2=B′C′2+C′F2=BC2+CF2,即有(x-15)2+(25-3)2=x2+32,求得x=70[]3.