關于函數凹性新的判別法

胡曉紅

【摘要】本文從凹函數的定義出發研究了凹函數的充要條件，并給出凹函數新的判定法.

【關鍵詞】凹函數;開區間;連續函數

【中圖分類號】玂174.13

【文獻標識碼】獳オ

一、定義及引理

1905年丹麥數學家獼ensen首次給出了凹凸函數的定義，打開了研究凹凸函數的先河.由于凸分析的發展,人們對于凸函數的研究已十分透徹,而與凸函數相仿的凹函數研究得較少.本文在總結凹函數判別方法的基礎上,給出了新的判別法.

定義［1］ 設I為一開區間，f為定義在I上的函數，對任意的x,y∈I，λ∈［0,1］，若

f((1-λ)x+λy)≥(1-λ)f(x)+λf(y)，(1)

則稱f為凹函數.

利用凸函數類似的方法［2］，可以證明下面兩個判別函數凹性的結論：

引理1 設f為開區間I的凹函數詎衭，v∈I(u

f(x)≥f(u)+f(v)-f(u)[]v-u(x-u).(2)

引理2 設f為開區間I的連續函數,f為凹函數詎衳,y∈I,有

fx+y[]2≥f(x)+f(y)[]2.(3)

二、主要結果

當選取區間I上多個變量時,我們有下列重要的定理.

定理1 設f為開區間I上的凹函數詎衳1,x2，…，x璶∈I,笑霜1,λ2，…，λ璶∈［0,1］且А苙[]k=1Е霜璳=1,有

f∑n[]k=1λ璳x璳≥∑n[]k=1λ璳f(x璳).(4)

證明 必要性():（數學歸納法）當k=2時，由定義，(4)式顯然成立.設k=n-1時(4)式也成立.當k=n時，衳1,x2，…,x璶∈I，笑霜1,λ2，…，λ璶∈［0,1］.

f∑n[]k=1λ璳x璳=fλ1x1+…+λ﹏-2獂﹏-2+1-∑n-2[]k=1λ璳·λ﹏-1猍]1-∑n-2[]k=1λ璳x﹏-1+λ璶[]1-∑n-2[]k=1λ璳x璶≥λ1f(x1)+…+λ﹏-2猣(x﹏-2)+1-∑n-2[]k=1λ璳fλ﹏-1猍]1-∑k=n-2[]k=1λ璳x﹏-1+λ璶[]1-∑n-2[]k=1λ璳x璶≥λ1f(x1)+…+λ﹏-2猣(x﹏-2)+λ﹏-1猣(x﹏-1)+λ璶f(x璶).

其中第一個不等號由假設k=n-1時(4)式成立可得，第二個不等號由定義可得.

充分性():笑霜1,λ2∈［0,1］,衳1,x2∈I，由(4)和定義可知f為凹函數.

定理1的結論類似于凸函數中著名的獼essen不等式.下面的定理2，我們給出了與凹函數等價的新的重要條件.

定理2 設f為開區間I上的凹函數詎衳,y,z∈I，

f(x)+f(y)+f(z)[]3+fx+y+z[]3≤2[]3fx+y[]2+ゝy+z[]2+猣x+z[]2.（5）

證明 必要性():不失一般性，不妨設x≤y≤z.若﹜≤獂+y+z[]3，則y≤x+z[]2.從而x+y+z[]3≤x+x+z[]2+z[]3=x+z[]2≤z,x+y+z[]3≤x+z[]2≤y+z[]2≤z，則存在s,t∈［0,1］，使得

x+z[]2=sx+y+z[]3+(1-s)z.（6）

y+z[]2=tx+y+z[]3+(1-t)z.（7）

（6）（7）兩式相加可得

x+y+2z[]2=(s+t)x+y+z[]3+(2-s-t)z.

整理可得

(x+y-2z)s+t-3[]2=0.

從而x+y-2z=0或s+t-3[]2=0.若x+y-2z=0,由﹛≤獃≤z可知x=y=z,顯然(5)式成立.若s+t=3[]2,由（6）（7）、引理2及定義有

fx+z[]2≥sfx+y+z[]3+(1-s)f(z).(8)

fy+z[]2≥tfx+y+z[]3+(1-t)f(z).(9)

fx+y[]2≥1[]2f(x)+1[]2f(y).(10)

式(8)~(10)相加后利用s+t=3[]2就可得(5).

充分性（幔：令y=z，則（5）式可化為

f(x)+2f(y)[]3+fx+2y[]3≤2[]32fx+y[]2+f(y).

即

fx+y[]2≥1[]4f(x)+3[]4fx+2y[]3.(11)

由定義及(11)可知f為凹函數.

定理2的結論可以推廣到區間I上多個變量，這時我們有下列結論：

定理3 設f為定義在開區間I上的函數，若衳1,x2,…,x璶∈I(n≥3),下列不等式成立:

f(x1)+f(x2)+…+f(x璶)[]n+fx1+x2+…+x璶[]n≤2[]nfx2+x3+…+x璶[]n-1+猣x1+x3+…+x璶[]n-1+…+ゝx1+x2+…+x﹏-1猍]n-1

.（12）

則f為凹函數.

證明 令x1=x2=…=x﹏-1,則(12)可化為

(n-1)f(x1)+f(x璶)[]n+f(n-1)x1+x璶[]n≤2[]n(n-1)f(n-2)x1+x璶[]n-1+f(x1).

整理后可得

f(n-2)x1+x璶[]n-1≥n-3[]2(n-1)f(x1)+1[]2(n-1)f(x璶)+n[]2(n-1)f(n-1)x1+x璶[]n.

由于n-3[]2(n-1)+1[]2(n-1)+n[]2(n-1)=1，而且

n-3[]2(n-1)x1+1[]2(n-1)x璶+n[]2(n-1)·(n-1)x1+x璶[]n=(n-2)x1+x璶[]n-1.

由定理1可知f為凹函數.

注 釋

基金項目：重慶市高等教育教學改革研究項目（0833229），重慶郵電大學青年教師科技基金項目（獳2006-57）．

ァ靜慰嘉南住開オ

［1］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義.北京：高等教育出版社，1992.

［2］J.L.W.V.Jessen,Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes, Acta Math.30(1906),175-193.