深入思考追蹤溯源 發揮最大教學效能

于妍秋

【摘要】教師應該站在數學系統知識的基礎上，高廣角、高站位地指導教學.

【關鍵詞】一題多解;普遍聯系;系統源頭オ

數學教學中，若想最大限度地發揮教學效能，前提條件是必須要有教師的深入思考，教師應該站在數學系統知識的基礎上，高廣角、高站位地指導教學.本文從一道題目的多種解法入手，深入思考其數學本質，追蹤其系統源頭，希望能帶給讀者以教學啟示.

一、一道題目多種解法的探究

圖 1題目 如圖1，在玆t△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點P為線段BC上一點，分別過點B，C作直線AP的垂線，垂足分別為點D，E.求證：AD－BD=2CE.

分析 我們可以直接從結論入手分析，將三條線段的關系轉化為兩條線段的關系，稱之為“直接法”，也可以將結論進行適當的變形和改造，稱之為“改造結論法”，下面從這兩個方向對此題的解法進行探究.

解法一 直接法（截長法）

圖 2ト繽2，在AD上截取AM=BD，連接CM,CD，易證△ACM≌△CDB，可證明△CMD為等腰直角三角形，MD=2CE，從而證明AD－BD=2CE.

解法二 直接法（截長法）

圖 3如圖3，在DA上截取DM=BD，連接CD,BM，易證△ABM∽△CBD，AM=2CD=2CE，從而證明AD－〣D=2CE.

解法三 直接法（補短法）

圖 4如圖4，延長DB至M，使得BM=2CE，連接CD，AM，可證明△ACD∽△ABM，∠AMＤ=∠ADC=45°，AD=DB+BM=DB+2CE，從而證明AD－BD=2CE.

解法四 直接法（補短法）

圖 5如圖5，延長BD至M，使得DM=2CE，連接MD、CM.作CH⊥MD，得MH=HD=CE，易證△ACD≌△BCM，AD=BM，從而證明AD－BD=2CE.

解法五 改造結論法（要證明AD－BD=2CE，只需證明AD－〤E=狟D+CE）.

圖 6如圖6，作CM∥AD，交BD延長線于M.易證△ACE≌△BCM，CM=DE=CE=DM，AE=BM，AE=AD－〥E=狝D－CE，BM=BD+DM=BD+CE，AD－CE=BD+CE，從而證明〢D－狟D=2CE.

二、深入思考其數學本質

以上給出了此題目的五種解法，深入思考其數學本質會發現，相對顯性的數學本質是五種解法都是利用了截長或補短的方法建構三條線段之間的關系，相對隱性的數學本質是在一些方法中，都因為題設中具有AC=BC的條件，使得此題目可以通過旋轉的方式加以呈現和解決.

△ACM≌△CBD

△ABC為等腰三角形△ACE≌△CBM

△ABC為等腰三角形△AKM≌△CMJ

△AMC為等腰三角形オオ

如解法一中，△CDB可以看作由△ACM繞點C逆時針旋轉90°得到；解法五中，△CBM可以看作由△CAE繞點C逆時針旋轉90°得到；解法七中，△CMJ可以看作由△AMK繞點M順時針旋轉90°得到等.如果教師在教學中能夠發現知識間的普遍聯系性，就會培養學生逐步學會知識建構的基本方法和策略，這對于學生而言是終身受益的，它的教學效能遠遠超過一道題目本身的價值.

三、追蹤其系統源頭

這道題目的源頭是阿基米德折弦定理，回顧一下定理內容及其證明方法.

已知：如圖7，A，B，C，D四點共圓，AC=BC，CE⊥AD于點E.求證：AE=BD+DE.

圖 7 圖 8 圖 9オオ

證明 如圖8，延長BD，過點C作CM⊥BD于點M，連接CD，易證△ACE≌△BＣＭ，△CDE≌△ＣDＭ，從而證明〢E=狟M=BD+DM=BD+DE.

阿基米德折弦定理是我們前面探究題目的一般情況，如果將弦AB變成直徑，如圖9所示，可以迅速得到結論〢E=狟D+DE，此時讓我們證明前面探究題目的結論是不是易如反掌呢？

對問題進行發散思維，深入研究，追根溯源，是一名數學教師提升專業素養的必由之路.此種思想只有在平時的教學實踐中進行有意識的鍛煉，才能內化為專業知識結構的一部分，才能自如運用于今后的教學之中.