關于一階微分方程各類解法的研究

王曉玲

一、一階微分方程類型

一個微分方程，首先應掌握方程類型的判別，因為不同類型的方程有不同的解法，同一個方程也可能屬于多種不同的類型，同時也有多種不同的解法，我們則應該選擇較易求解的方法.對于一階微分方程，通常可按照可分離變量的方程、一階線性方程、齊次方程的順序進行.

一階微分方程的一般形式為F(x,y,y′)=0或y′=f(x,y).

其中最基本的類型是變量可分離的方程和一階線性方程，而齊次方程可通過變量替換也可轉化為變量可分離的方程.

二、一階微分方程變量可分離類型解法

1.一般變量可分離方程

一般的，如果一個一階微分方程能寫成g(y)玠珁=ゝ(x)玠玿 （1）

的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含有y的函數和玠珁，另一端只含有x的函數和玠玿，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程.假定方程（1）中的函數ゞ(y)和f(x)是連續的，設y=h(x)是方程（1）的解，將它代入到（1）中得到恒等式

g［h(x)］h′(x)玠玿=f(x)玠玿.

將上式兩端積分，并由y=h(x)引進變量y，得

А襣(y)玠珁=∫f(x)玠玿.И

設G（y）及F（x）依次為g(y)和f(x)的原函數，于是有

G（y）=F(x)+C.（2）

因此，方程（1）的解滿足關系（2）.反之，如果y=H（x）是由關系式（2）所確定的隱函數，那么在g(y)≠0的條件下，y=H(x)也是方程（1）的解，事實上，由隱函數的求導法可知，當g(y)≠0時，

H′(x)=F′(x)[]G′(y)=f(x)[]g(y).

這就表示函數y=H(x)滿足方程（1）.所以，如果已分離變量的方程（1）中，g(y)和f(x)是連續的，且g(y)≠0,那么（1）式兩端積分后得到的關系式（2）就用隱式給出了方程（1）的解，（2）式就叫做微分方程（1）的隱式解.又由于關系式（2）中含有任意常數，因此（2）式所確定的隱函數是方程（1）的通解，所以（2）式叫作微分方程（1）的隱式通解.

2.齊次方程

如果一階微分方程可化成玠珁[]玠玿=hy[]x的形式，那么就稱為這樣的方程為齊次方程.

在齊次方程玠珁[]玠玿=hy[]x中，引進新的未知數u=y[]x，就可以把它轉化為可分離變量的方程求解，然后把u代回，便得所給齊次方程的通解.

三、一階線性方程類型的解法

方程玠珁[]玠玿+p(x)y=q(x) （3）

叫做一階線性微分方程，因為它對于位置函數y及其導數是一次方程.如果q(x)=0,則方程稱為齊次的；如果不等于零，則稱為非齊次的.

1.積分因子法

將上面一階線性方程的兩邊同時乘以積分因子

u=e∫p(x)玠玿.

則上式改寫為e∫p(x)玠玿y′=q(x)e∫p(x)玠玿.

積分便可得到通解方程為

ye∫p(x)玠玿=А要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C.

2.公式法

此方法過于固定，適用場合有限，有時需要自己分析處理轉換后方可應用.根據非齊次方程的通解公式為

y=e-∫p(x)玠玿ИА要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C，

相應的齊次方程的通解為y=Ce-∫p(x)玠玿.

將相應的函數和數值帶入，即可得到方程的通解.

3.常數變易法

常數變易法是解一階線性方程常用的方法，先用分離變量法求相應的齊次方程的通解為

y=Ce-∫p(x)玠玿.（4）

然后將C換成ｘ的未知函數ｕ（ｘ），即作變換

y=ue-∫p(x)玠玿В則玠珁[]玠玿=u′e-∫p(x)玠玿-up(x)e-∫p(x)玠玿.

將上式都帶入原式（3），得

u′e-∫p(x)玠玿-up(x)e-∫p(x)玠玿+p(x)ue-∫p(x)玠玿=q(x).ゼ磚′e-∫p(x)玠玿=q(x),u′=q(x)e∫p(x)玠玿.

兩端積分，得u=А要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C.

將此式代回（4）式，即得到非齊次線性方程的通解為

y=e-∫p(x)玠玿ИА要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C.

改為兩項之和形式y=e-∫p(x)玠玿ИА要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+e-∫p(x)玠玿C.

由此可知，一階非齊次線性方程的通解等于對應的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和.

四、變量交換型的解法

當一階微分方程的形式如下

玠珁[]玠玿=h(y)[]p(y)x+q(y).

則可通過改變自變量和因變量的方式來求解微分方程，交換后得

玠玿[]玠珁=p(y)[]h(y)x+q(y)[]h(y).

這可以看作以ｙ為自變量，ｘ為因變量的一階線性方程，然后再用上面介紹的方法即可求出方程的通解.

5.結束語

本文介紹一些一階微分方程各類解法的研究.文章開始我們主要介紹幾類一階微分方程類型，主要基本的類型是變量可分離的方程和一階線性方程兩種，然后分別對兩種類型方程的求解作了詳細敘述.其中變量交換型是屬于特殊類型，不怎么常見但方法比較固定.希望本文對一階微分方程解法的研究，對以后人們成功解決一階微分方程問題起到一個很大的幫助.