淺談常見遞推數列的類型及解法

周勇 曹建中 黃秋燕

【摘要】數列是高中數學教學的重點,而求數列通項公式又是該問題的難點，本文總結了高中數學常見的幾種由遞推關系式求數列的通項公式的解法.

【關鍵詞】遞推數列;通項公式

數列是高中數學的重要內容之一，雖然在教學大綱中只有12個課時，但是在高考試題卷面中約占總分的8%~11%.由于數列問題最終歸結為對通項公式的研究，故數列通項公式的求解是數列中最基本和最重要的問題，也是高考對數列問題考查的熱點之一.近年的出題形式為先給定數列的初始項和數列通項的遞推關系式，要求解出通項公式.由于求解方法需要靈活的變形技巧，學生遇到此類問題常常感到困難而無從下手.筆者根據自己的教學實踐，以數學高考試題中涉及的數列和平時教學中所遇到的典型的數列為例，總結介紹幾種常見的通項公式的類型和解法，供讀者參考.

類型一 等差型數列:已知a1和a﹏+1-a璶=f(n)，求a璶.

解法 使用累加法（即逐項相加法），再使用相關公式進行求解.即a璶=(a璶-a﹏-1)+(a﹏-1-a﹏-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).

讀者可嘗試求解以下三道難度不大的試題：

①（2008天津）已知數列{a璶}中,a1=1,a﹏+1-a璶=1[]3﹏+1(n≥1),則┆玪im猍]n→+∞a璶=.

②在數列{a璶}中,a1=1,a﹏+1=a璶+2n-1(n≥1),求a璶.

③（2008江西）在數列{a璶}中,a1=2,a﹏+1=a璶+┆玪n1+1[]n ,則a璶=.

類型二 等比型數列:已知a1和a﹏+1猍]a璶=f(n)，求a璶.

解法 使用累乘法（即逐項相乘法）求解，即a璶=a璶[]a﹏-1·a﹏-1猍]a﹏-2·…·a3[]a2·a2[]a1·a1(n≥2).

例1 已知a1=1，a﹏+1=2n-1[]2n+1a璶(n≥1).求a璶.

解 由a﹏+1=2n-1[]2n+1a璶(n≥1)知a﹏+1猍]a璶=2n-1[]2n+1(n≥1)，故a璶=2(n-1)-1[]2(n-1)+1·2(n-2)-1[]2(n-2)+1·…·2×2-1[]2×2+1·2×1-1[]2×1+1a1=2n-3[]2n-1·2n-5[]2n-3·…·3[]5·1[]3·1=1[]2n-1(n≥1).

類型三 線性遞推數列：已知a1和a﹏+1=pa璶+q(其中p,q為常數，且pq≠0,p≠1),求a璶.

解法 使用待定系數法轉化為公比為p的等比數列后再求a璶，即把原遞推公式轉化為：a﹏+1-k=p(a璶-k)，可求得k=q[]1-p，再利用換元法轉化為等比數列求解.

例2 （2006重慶）在數列{a璶}中，若a1=1,a﹏+1=2a璶+3(n≥1)，求a璶.

解 由a﹏+1=2a璶+3(n≥1),設a﹏+1-k=2(a璶-k)，變形得a﹏+1=2a璶-k，與原式a﹏+1=2a璶+3對比系數可知﹌=-3，故a﹏+1+3=2(a璶+3)(n≥1)，變形為a﹏+1+3[]a璶+3=2(n≥1)，即數列{a璶+3}是首項為a1+3，公比為2的等比數列，由等比數列的通項公式可知a璶+3=(a1+3)·2﹏-1=2﹏+1(n≥1)，故a璶=2﹏+1-3(n≥1) .

類型四 指數遞推數列：已知a1和a﹏+1=pa琿璶(p,q為常數且p>0,a璶>0)，求a璶.

解法 對遞推等式左右兩邊同時取對數后轉化為類型三，再進行求解.

例3 已知數列{a璶}的各項均為正數且滿足,a1=1,a﹏+1=4a3璶(n≥1),求a璶.

解 由a﹏+1=4a3璶對等式左右兩邊同時取常用對數得玪g玜﹏+1=玪g(4a3璶)=3玪g玜璶+2玪g2,令b璶=玪g玜璶,則b﹏+1=3b璶+2玪g2(n≥1)，再使用類型三中的待定系數解法，即可解得b璶=(3﹏-1-1)玪g2，即玪g玜璶=(3﹏-1-1)玪g2，故a璶=3┆﹏-1-1(﹏≥1).

類型五 分數遞推數列：已知a1和a﹏+1=pa璶+r[]a璶+q(p,q,r為常數且pq≠0)，求a璶.

解法 （1）當r=0時,兩邊取倒數可求出通項.

例4 （2008陜西）已知數列{a璶}的首項a1=3[]5,a﹏+1=3a璶[]2a璶+1(n≥1),求{a璶}的通項公式.

解 由a﹏+1=3a璶[]2a璶+1,兩邊取倒數，得

1[]a﹏+1=1[]3·1[]a璶+2[]3.ナ褂么定系數法，得1[]a﹏+1-1=1[]31[]a璶-1.

故數列1[]a璶-1是以1[]a1-1為首項,1[]3為公比的等比數列,

∴1[]a璶-1=1[]a1-1·1[]3﹏-1=2·1[]3琻,

故a璶=3琻[]3琻+2(n≥1).

（2）當r≠0時,可先轉換為上一種問題,即消去分子中的r,再構造成等差或等比數列求解.

例5 在數列{a璶}中,a1=2,a﹏+1=2a璶+1[]a璶+2,求a璶.

解 用待定系數法,令a﹏+1+α=p(a璶+α)[]a璶+2,對比系數法則有p-α=2,pα-2α=1葒=1,p=3或α=-1,p=1.當α=-1,p=1時,a﹏+1-1=a璶-1[]a璶+2 ,令a璶-1=b,則有b﹏+1=b璶[]b璶+3變成了上一種形式,兩邊取倒數即可求得゛﹏+1=2[]3琻-2+1(n≥1).

同樣α=1,p=3也可以求出,結果一樣.

類型六 二階遞推數列：已知a1,a2和a﹏+2=pa﹏+1+qa璶(p,q為常數且pq≠0)，求a璶.

解法 常用待定系數法將原遞推式化為a﹏+2-αa﹏+1=│(a﹏+1-sa璶)，其中α+β=p,αβ=-q，從而轉化為新數列{a﹏+1-αa璶}求解.

例6 已知數列{a璶}中,a1=1,a2=5,a﹏+2=5a﹏+1-6a璶,求a璶.

解 可設a﹏+2+α·a﹏+1=β(a﹏+1+α·a璶)，移項與原遞推關系式對比系數葒-α=5,

α·β=-6葒=-2,

β=3或α=-3,

β=2.

即a﹏+2-2a﹏+1=3(a﹏+1-2a璶).……(1)

或a﹏+2-3a﹏+1=2(a﹏+1-3a璶).…………(2)

由(1)知,數列{a﹏+1-2a璶}是首項為3,公比為3的等比數列,則a﹏+1-2a璶=3琻.………(3)

由(2)知,數列{a﹏+1-3a璶}是首項為2,公比為2的等比數列,則a﹏+1-3a璶=2琻.………(4)

由(3)-(4)，得,a璶=3琻-2琻.

類型七 混式遞推數列：已知a1和a﹏+1=pa璶+f(n)(p為常數且p(p-1)≠0）,求a璶.

解法 常常是兩邊同除以p﹏+1轉化為等差型數列.

例7 （2008全國改編）在數列{a璶}中，a1=1,a﹏+1=2a璶+2琻(n≥1),求{a璶}的通項公式.

解 由a﹏+1=2a璶+2琻兩邊同除以2﹏+1，得

a﹏+1猍]2﹏+1=a璶[]2琻+1[]2，

故數列a璶[]2琻是以a1[]21即是1[]2為首項,1[]2為公差的等差數列,

∴a璶[]2琻=1[]2+(n-1)·1=2n-1[]2,故a璶=n·2﹏-1(n≥1).

例8 （2007天津改編）在數列{a璶}中，a1=2,a﹏+1=4a璶-3n+1(n≥1),求{a璶}的通項公式.

解 由a﹏+1=4a璶-3n+1兩邊同除以4﹏+1，得

a﹏+1猍]4﹏+1=゛璶[]4琻+1-3n[]4﹏+1，令b璶=a璶[]4琻 ，

則b﹏+1=b璶+1-3n[]4﹏+1，

移項可得b﹏+1-b璶=1-3n[]4﹏+1，由此想到等式

b璶=(b璶-b﹏-1)+(b﹏-1-b﹏-2)+…+(b2-b1)+b1=1-3(n-1)[]4琻+1-3(n-2)[]4﹏-1+…+1-3·1[]42+1[]2=n[]4琻+1[]4（這里部分求和要用到錯位相減法），即a璶[]4琻=n[]4琻+1[]4，故゛璶=猲+4﹏-1(n≥1).

遞推數列求解數列通項公式的類型很多，本人只是總結了常見的幾種簡單遞推數列的類型和解法，希望能為數列內容的復習提供一些幫助，不足之處懇請大家批評指正.