一個問題,別樣風景

羅樹鋒

教育是門遺憾的藝術，教育有法，教無定法，需要因人而異，隨機應變.教育更像藝術，藝術也有法則，但不拘泥于法則，更多的是創造.隨著教學改革的不斷深入，教學理念的不斷更新，課堂教學的有效性討論也在各地如火如荼地展開，怎么樣的課是好課，怎么樣的課能更好地促進學生思維的發展，提高學生學習數學的一種本原意識，筆者嘗試淺析寧波市教壇新秀評比給出的其中一個課題是評析“2011年浙江省會考第41題”的兩個同課異構案例，供同行探討.

一、一種問題

（2011年浙江省會考第41題）

圓C與y軸相切于點T(0,2)，與x軸正半軸相交于兩點M,N（點M在點N的左側），且|MN|=3.

（1） 求圓C的方程；

（2） 過點M任作一直線與圓O：x2+y2=4相交于兩點A,B，連接AN,BN，求證：∠ANM=∠BNM.

二、兩種風景

課例一

1.新課導入

在平面上給定相異兩點A,B，設P點在同一平面上且滿足PA[]PB=λ，當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，稱作阿波羅尼斯圓.這個結論稱作阿波羅尼斯軌跡定理.

介紹：阿波羅尼奧斯(獳pollonius of Perga)，約公元前262年生于佩爾格,約公元前190年卒，數學家.他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.

2.強化概念

例1 已知A(1,0)，B(4,0)，點P是平面內的動點，滿足2|AP|=|BP|，求點P的軌跡方程.

3.課題呈現

圓C與y軸相切于點T(0,2)，與x軸正半軸相交于兩點M,N（點M在點N的左側），且|MN|=3.

（1） 求圓C的方程；

（2） 過點M任作一直線與圓O：x2+y2=4相交于兩點A,B，連接AN,BN，求證：∠ANM=∠BNM.

4.真題再現

例2 （2003年北京春季高考卷）設A(-c,0)，B(c,0)(c>0)為兩定點，動點P到點A的距離與到點B的距離的比為定值a(a>0)，求點P的軌跡.

例3 （2008年高考數學江蘇卷）滿足條件AB=2，〢C=2BC的△ABC的面積的最大值是.

例4 （2006年高考數學四川卷）已知兩定點A(-2,0)，B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|，則點P的軌跡所包圍的面積等于（）.

A.πB.4πC.8πD.9π

5.課堂小結

阿波羅尼斯圓在高中數學中的應用比較廣泛，在高考題中也有不少應用，接下來請同學們小結一下本節課學過的知識和方法.

課例二

1.提出問題，引入課題

圓C與y軸相切于點T(0,2)，與x軸正半軸相交于兩點M，N（點M在點N的左側），且|MN|=3.

（1） 求圓C的方程；

（2） 過點M任作一直線與圓O：x2+y2=4相交于兩點A,B，連接AN，BN,求證：∠ANM=∠BNM.

2.化整為零，層層深入

探究1：求解圓方程.

探究2：圓上兩定點M,N的坐標.

例1 圓C與y軸相切于點T(0,2)，與x軸正半軸相交于兩點M,N（點M在點N的左側），且|MN|=3，求圓C的方程.

例2 已知點M(1,0)，N(4,0),圓x2+y2=4，過點M任作一直線與圓相交于A,B兩點，連接AN,BN，探究∠ANM與∠BNM會有什么關系呢？

探究3：通過兩個角是直線AN、直線BN與x軸的夾角，聯想其關系，進而轉化為兩斜率之間的關系，達到形到數的轉化（∠ANM=∠NBM趉〢N+k〣N=0）.

探究4：利用角平分線定理的逆用，拓展思路，∠ANM=∠NBM趞AM|[]|BM|=|AN|[]|BN|，為引出阿波羅尼斯圓作準備.

探究5：深入挖掘題目，引出阿波羅尼斯圓，拓展知識面，由阿波羅尼斯圓的定義為后繼的圓錐曲線定義引出領路.“圓”來如此.

探究6：在本題中，若當點N為x軸上動點時，∠ANM=∠BNM是否還成立？

3.課后小結：學生談在本節課中的收獲.

三、三點比較

本題雖然是一個會考題，但是難度不小，學生在處理此類問題時思路常常會受阻，兩節課在處理問題上有較大的不同，主要有三大方面：

第一個不同：課例1用“阿波羅尼斯圓”定義作為導入，對學生來說，全新的數學概念，特別是一個新奇的數學家的名字所激發的興趣是非常大的.而課例2直接給出課題，開門見山，學生在常態的課例中發現了亟待解決的問題，這個問題來源于課題的“難”，應當說，利用刺激性的課題引入也不失為一種好方法.

第二個不同：課例1重點在“阿波羅尼斯圓”的落實上，從定義的給出到強化定義再到定義的應用，引出了本節課要重點解決的課題.課例2將課題層層剝開，化整為零，分解出小問進行問題的處理，而“阿波羅尼斯圓”的定義引出僅僅是課題進行中的一個意外收獲，在這里，將題中的要求分解進行解決體現了一種價值理念.

第三個不同：課例1的強化落實是圍繞“阿波羅尼斯圓”層層展開，進一步理解和掌握“阿波羅尼斯圓”.而課例2的強化落實是通過探究動點問題來將原課題引到更深的層次，體現了生成性的教學過程，實現教師為主導，學生為主體的教學理念.

四、四點反思

本次“同課異構”的活動，通過同行們的討論和探討，有如下反思，供大家參考：

反思一：教學設計是為了追求高效率、高質量的課堂教學，備課前的準備工作也是必不可少的，可以閱讀一些參考資料和同行的教學案例，而網絡上涉及課題中相關問題的知識也很多，但同時，教師也應當經過適當地挑選，并經過詳細地改編以期在課堂的呈現中表現出自然的一面，而不是很突兀的感覺.

反思二：怎樣準備課.其實，教學的過程和學生學習的過程應當是極為相似的，所以，在課堂準備活動前了解學生，從學生的角度出發進行教學準備應當是比較有效的一種方法.

反思三：解析幾何不是單一的幾何問題代數化，而應當將幾何問題和代數方法有機地結合在一起，應著重于學生思維層次的培養上面.所謂知其然更應當知其所以然，教會學生解決問題的辦法從而達到一通百通的目的.

反思四：怎么樣的課是好課.好課是沒有標準的，但是基本上應當有以下幾個要求：有意義，有效率，看生成性，看常態性，是否具有可完善性.從這五個基本點出發可能對我們的課堂教學的改進會有些積極的作用.

課無完課，教無定法，所以，不斷從課例的對比中找出其閃光點，找到適宜的教學方法，讓教師的教學設計思維在碰撞中產生火光，這也是提高教師教學專業水平的一種行之有效的方法.

【參考文獻】

ダ紫莉.新課引入的教學研究.中學數學教學參考（上旬），2011年3月.