高三導數復習的幾點想法

朱加俊

導數問題是高中數學的一個重要組成部分，近幾年各省市的高考中，導數成為一個必考內容，占到總分值的10%左右.從難易程度看，各省市高考中，填空題以中檔為主，而解答題處于壓軸題的位置，綜合性較強，難度也比較大.

江蘇“課程標準”中對導數部分的要求是：一、了解導數的概念及幾何意義；二、理解導數的定義，了解函數的單調性與導數的關系，包括求函數的極值、單調區間及判定函數的單調性等；三、導數在實際生活中的應用.根據課程標準要求及本人在教學中了解的學生的學習情況，提出在復習過程中的幾點想法：

一、注重導數的幾何意義

導數的幾何意義是高考涉及導數知識時經常考查的一個知識點，如求切線的斜率、求切線的方程等，難點在于對其幾何意義的正確理解.

例1 （2008江蘇8）直線y=1[]2x+b是曲線y=玪n玿(x>0)的一條切線，則實數b＝.

解析 求曲線的切線（包括給出的點在或不在已知曲線上兩類情況）為主要內容，求切線方程的難點在于分清“過點(x0,y0)的切線”與“點(x0,y0)處的切線”的差異.突破這個難點的關鍵是理解這兩種切線的不同之處在哪里：在過點(x0,y0)的切線中，點(x0,y0)不一定是切點，點(x0,y0)也不一定不在切線上；而點(x0,y0)處的切線，必以點(x0,y0)為切點，則此時切線的方程才是y-y0=f′(x0)(x-x0).求切線方程的常見方法有：①數形結合.②將直線方程代入曲線方程利用判別式.③利用導數的幾何意義.

二、強化導數的基本運算及簡單應用

導數的基本運算是導數應用（單調性、極值、最值）的基礎，是高考重點考查的對象，考查的方式以填空題為主.

例2 （2009江蘇3）函數f(x)=x3-15x2-33x+6的單調減區間為.

解析 對于導數的復習，應該立足基礎知識和基本方法，應注意以下幾點：

（1）在求導過程中要緊扣求導法則，聯系基本函數求導公式，對于不具備求導法則結構形式的要注意適當恒等變形.（2）用導數法研究函數的單調性、極值及最值時要特別注意函數的定義域，因為一個函數的導數的定義域可能和這個函數的定義域不相同.（3）近年高考中經常出現以三次函數為背景的問題，復習中應加以重視.

三、加強利用導數研究函數性質問題的研究

運用導數的有關知識，研究函數的性質是歷年高考的熱點問題.高考試題常以解答題形式出現，主要考查利用導數為工具解決函數、方程及不等式有關的綜合問題，題目較難.

例3 （2011江蘇19）已知a，b是實數，函數f(x)=﹛3+猘x,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分別是f(x),g(x)的導函數，若f′(x)g′(x)≥0在區間Ⅰ上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區間Ⅰ上單調性一致.

（1）設a>0，若函數f(x)和g(x)在區間［-1,+∞)上單調性一致,求實數b的取值范圍；

（2）設a<0且a≠b，若函數f(x)和g(x)在以a，b為端點的開區間上單調性一致，求|a-b|的最大值.

解析 這類問題常常涉及求函數解析式、求參數值或取值范圍問題.解決極值、極值點問題轉化為研究函數的單調性，參數的取值范圍轉化為解不等式的問題，有時須要借助于方程的理論來解決，從而達到考查函數與方程、分類與整合的數學思想.

四、運用導數解決實際問題

近幾年，高考越來越注重對實際問題的考查，因此要學會應用導數解決有關最優化的問題及即時速度、邊際成本等問題，學生要有運用導數知識解決實際問題的意識、思想方法以及能力.實際應用問題的考查將是高考的又一熱點.

例4 （2010江蘇）將邊長為1 玬的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=(梯形的周長）2[]梯形的面積,則S的最小值是.

解析 解決實際應用問題關鍵在于建立數學模型和目標函數.把“問題情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化、形式化，抽象成數學問題，再化歸為常規問題，選擇合適的教學方法求解（尤其要注意使用導數解決最優化的問題）.

通過以上考點回顧和熱點分析，我們在導數的復習備考中須要注意以下幾個問題：

1.要把導數的復習放在函數大背景下來復習.同時注意定義域優先、函數方程的思想、數形結合思想、分類討論思想、恒不等式問題常見處理方法，等等.

2.要用好導數工具.要對已知函數進行正確求導，特別注意的是分式、對數式、復合函數的求導，一定要對求導的結果進行演算之后再進行下一步的運算.

3.要重視常見初等函數性質的研究，特別是二次函數.一個問題利用導數求解之后，一定轉化為常見的初等函數，求導之后的函數以二次函數型居多，要不也是局部是二次型，其他部分的因式符號是固定的，所以要研究好常見如二次函數、類反比例反數、對號函數等函數的性質，為導數題的深化解題奠定基礎.

4.拓展導數應用的范圍.例如求曲線的切線拓展到求圓錐曲線的切線，在用導數求圓錐曲線切線時，要注意將方程轉化為兩個分段函數的形式.通常近幾年涉及這樣的問題以二次函數型拋物線方程居多.