中學生數學推理能力探究

高建

【摘要】本文深入探討了推理的機制、數學推理的一般過程、數學推理的分類，并根據數學推理的分類總結歸納出適合于中學生的數學推理能力層次分類.最后，根據本文數學推理能力層次分類對當前中學生數學推理能力進行了調查研究，并與張奠宇教授等于1997年6月對數學推理能力的調查結果進行對比分析.

【關鍵詞】推理；數學推理；數學推理能力；推理能力分類オ

一個具有推理能力的人，無論遇到什么事情，都會自覺地尋求并弄清事情發生的本源，講道理，判明是非，從而采取公正、合理的措施來解決問題.具有較強的推理能力對學生成長以及智力發展都起著加速和促進的作用，使其能夠應對如今社會中大量紛繁復雜的信息，并對其進行篩選，理出頭緒，作出恰當的判斷和決策，這是21世紀新型人才所需要的基本素質.因此，培養學生的數學推理能力，提高學生的問題解決能力，培養學生將來工作以及實際生活的能力，是一項迫在眉睫的任務.

一、推 理

推理（獻nference）并不僅僅局限在數學推理這個層面.推理廣泛應用在我們的日常工作和生活中，在我們日常工作和生活中，推理無處不在.

推理定義：由一個或幾個已知的判斷（前提），推導出一個未知的結論的思維過程.推理是形式邏輯，其作用是從已知的知識得到未知的知識，特別是可以得到不可能通過感覺經驗掌握的未知知識.

推理是從一些已知的命題A1，A2，…，A璶出發，按一定規則推得一個新命題B的思維過程.一個推理由前提和結論兩部分所組成，推理時所依據的命題A1，A2，…，A璶稱為推理的前提，從前提通過推理得到的新命題B稱為推理的結論.

二、數學推理

最初人們認為“數學推理本質上是一種純粹的邏輯推理，因而不會受到武斷的影響”（Whately R.，1873）.但數學推理并不等同于純演繹的邏輯推理.19世紀數學家彭加勒（Henri Poincare）在其“數學推理的本性”中對沿襲了兩千多年之久的數學“三段論”推理說率先提出質疑后，人們對數學推理的理解逐漸趨于深刻.波利亞（Givlert Polya）于1954年發表了《數學與猜想》，其中主要研究數學成果的思想淵源，明確將數學推理概括為證明推理與合情推理.

筆者認同“數學推理是從一個判斷或許多已知判斷推出另一個新判斷的思維過程，是對判斷間的邏輯關系的認識”這樣一種觀點.掌握比較完善的推理能力是智力發展的重要環節和主要標志.

1筆學推理分類

人類的思維是復雜的，推理這種思維過程也有多種形式.

（1）推理按推理過程的思維方向劃分，主要有演繹推理（獶eductive Reasoning）、歸納推理和類比推理.

①演繹推理又稱三段論推理，最常見的是直言三段論形式.其意義是由普通的原理到特殊事實的推理，即以普通的原理為前提，以特殊事實為結論.

②歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結論的推理.它是由一系列個別性的知識，推出一個一般性的結論.思維進程的方向和演繹推理恰好相反.

③類比推理是根據兩個或兩類事物某些屬性相同或相似，進而推論另一屬性也相同或相似，或者根據某類事物的許多現象都有某種屬性，推論該類事物的另一對象也有這種屬性的推理形式.它是通過對兩個或兩類事物進行比較，發現相同或相似點后，以此作為依據推知事物的未知屬性.

（2）推理按照結論的真假，可以把數學推理劃分為必真推理（論證推理）與似真推理（合情推理）兩大類.

①必真推理：必真推理又稱為論證推理.在前提正確無誤的情況下，使用推理方法可以導出真實的推理結論，即導出真命題.演繹法中只要前提判斷正確，結論自然是真實判斷，所以演繹法是一種必真推理方法.

②似真推理：似真推理又稱為合情推理，它來自于玃lausible Reasoning，是一種合乎情理的推理.推理中，如果推理前提正確無誤，即為真命題，而推理結論不一定為真.廣義的合情推理包括觀察、實驗、聯想、猜測、直觀、歸納、類比、推廣、限定、抽象等一系列發現手段.

（3）根據推理前提的數量可分為直接推理和間接推理.

①直接推理.直接推理是由一個前提推出一個結論的推理.在傳統邏輯學中，直接推理分為：根據判斷間的對當關系的直接推理和通過判斷變形的直接推理兩種.

②間接推理.間接推理是有兩個或兩個以上的前提推理出一個結論的推理.間接推理又根據其前提到結論思維進程的方向分為演繹推理、歸納推理、類比推理.

（4）邏輯推理的發展要經歷四級水平：直接推理、間接推理、迂回推理、綜合推理.

①直接推理水平，即套用公式直接推出結論；

②間接推理水平，即需要進行條件轉化、尋找依據、經多個步驟得出結論；

③迂回推理水平，即需要深入分析條件及相互關系，提出假設，反復驗證后才得出結論；

④綜合性推理水平，即要按照一定的數理邏輯規則、格式進行推理，追求推理過程的簡練、合理.

研究表明，中學生邏輯推理水平普遍較低，初一學生有一半以上不能套公式做題，高中學生還有人不能按公式進行一步推理；多步推理成為普遍難題，綜合性推理更是困難重重.

2筆學推理的三個層次

對數學推理能力的劃分形式是多樣的，每一種方法的側重點各不相同.針對本研究的群體特性，筆者認為：數學推理劃分為直接推理、間接單層推理、間接多層推理.如圖1所示.其中間接單層推理又可以劃分為間接單層單步推理、間接單層兩步推理、間接單層多步推理.這種劃分方法的包容性顯然是有限的，但目標清晰且是有重點的進行劃分，適合于針對數學推理能力水平相對不高的初中生進行其數學推理能力的培養.

圖1 數學推理能力層次オオ

合情推理有助于創造性思維的培養，演繹推理有利于邏輯嚴密性思維的培養.筆者認為將對中學生的數學推理劃分為演繹推理和合情推理的劃分方法有利于對推理形式的研究，但并不利于對中學生數學推理能力的培養.本研究中的數學推理能力的劃分方法并不是僅僅強調演繹推理，忽視合情推理的重要性，而是將合情推理融入到我們本研究的框架之中.

3筆學推理能力

數學推理能力，實際上是學生邏輯論證能力、獨立思考能力、探索能力、創新能力等的綜合體現，是一種復合型能力.“課標”指出，義務教育階段學生的數學推理能力主要表現在：能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋找證據、給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據；在與他人交流的過程中，能用數學語言合乎邏輯地進行討論與質疑.

通過分析，筆者認為可以把“數學推理能力”的概念界定為：在數學活動中，運用合情推理去獲得理解數學概念、公式、法則等知識或探究解決問題的方法，獲得發現、得出猜想或結論，并用演繹推理對所得出的猜想結論加以檢驗、證明的個性心理特征.

數學推理能力的形成是一個緩慢的過程，有其自身的特點和規律，它不是學生“懂”了，也不是學生“會”了，而是學生自己“悟”出了道理、規律和思考方法等.這種“悟”只有在學生經歷觀察、實驗、猜想、證明的真實數學問題探索中得到培養.

三、中學生數學推理能力調查

國內外對于學生數學推理能力水平的調查并不多.張奠宇教授、田中教授、徐龍炳教授于1997年6月開始對數學基本技能進行測試與分析，并于2003年以《數學教育研究前沿》系列叢書的形式發行出版.該研究和叢書對本研究起到很大的啟示作用.但該研究對數學推理能力的測量從開始到現在已有12年之久，就算從2003年《數學教育研究前沿》系列叢書的出版算起，也已有7年之久.當今社會迅猛發展，我國不同年齡段的學生智力水平在最近幾年變化速度很快，所以有必要在開展本論文的研究之前對當前的初中學生的數學推理能力再做一次調查.

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本次調查的對象為廣州市天河區天秀中學（重點城市的區一級學校）的兩個初三班級（共65名學生）和山東省煙臺市十五中學（三線城市的普通學校）的三個初三班級（共110名學生）的學生.調查對象跨越兩個省份，既有重點城市的重點學校，也有三線城市的普通學校，調查樣本具有一定的代表性.天秀中學所用教材為人民教育出版社出版的義務教育系列教材，發放《初中數學推理能力的調查表》65份，回收62份，回收率95%，有效率100%.山東煙臺市十五中學所用的教材為山東教育出版社義務教育課程標準實驗教科書，發放《初中數學推理能力的調查表》110份，回收107份，回收率97%，有效率100%.

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此次調查使用《初中數學推理能力的調查表》，編制和設計依據本研究對數學推理能力的界定，參考了我國《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》以及田中、徐龍炳、張奠宇編著，由華東師范大學出版社出版的《數學基礎知識、基本技能、教學研究探索》一書中的相關內容，結合中學數學教材內容制定.

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為了保證調查問卷的信度和效度，我們在開展正式的問卷調查前進行了預測.預測的目的是初步檢驗題目的難度、題目的數量、調查問卷的信度和效度，并對發現的問題進行及時調整以便調查問卷更加嚴謹.為提高調查問卷的質量，與實驗學校協調專門安排了一節課進行問卷調查，以便保證學生能夠在良好的狀態下完成需要調查的內容.

四、調查數據統計與分析

本調查研究，共發放問卷175份，共收回問卷169分.我們按照每道題的正誤來給分，每道題目滿分1分，回答正確給滿分，回答錯誤給零分.首先我們批閱學生的每一份問卷，然后我們對問卷按照題號進行統計，最后根據每道題目的正答率畫出曲線圖，統計結果如圖2所示.

圖2 數學推理能力水平オオ

1.根據統計顯示圖，我們可以看出，中學生的數學推理能力水平普遍不高.大多數的題目，學生的正答率平均在55%.

2.第12，13題涉及多步數學推理，學生的正答率普遍偏低.而對于第1，2題等直接推理的題目，學生的正答率則普遍偏高.由此可見，學生的直接推理能力發展相對間接推理發展程度較好.

3.數據分析顯示，對于圖形化的數學推理，學生的正答率一般偏高；對于純數字的數學推理，學生的正答率普遍偏低.由此可見，中學生正處于一個由形象化思維到抽象化思維過渡的階段.學生的抽象化思維程度普遍不高，而形象化思維相對于抽象化思維則相對較高.在我們的數學教育教學中，我們完全可以利用學生的形象化思維較高的特性，利用幾何相關知識來對抽象思維進行訓練.

4.本次調查的學生的題目正答率為52.8%，與《數學基礎知識、基本技能、教學研究探索》一書中的正答率506%=（44.74+55.47+51.59）÷3×100%相比，現在的中學生的數學推理能力相對較高.

我們對本次調查的169份問卷，按照性別進行分別統計，計算不同性別的學生每道題目的正答率，然后我們根據該正答率的統計數值作圖，如圖3所示.

圖3 男女數學推理能力水平オオ

圖3為按照性別進行統計學生每道題目的正答率.從本研究的調查統計圖表來看，初中男生的推理技能和初中女生的推理技能基本相一致，并且初中女生在直接推理方面優于初中男生.在形象化思維方面男生優于女生，在數字演繹推理方面女生略優于男生.2003年張奠宇在《數學基礎知識、基本技能、數學研究探索》一書中認為，城市省重點中學男生的推理技能略優于女生，而鄉鎮重點中學女生的推理技能高于男生，總體上中學生中男生演繹推理技能明顯優于女生.與本調查研究的研究結果基本一致，但也有部分差異，可能與選取的被調查對象的不同有關.

五、調查結果小結

調查結果顯示，中學生的數學推理能力較之1998年的調查結果有所提高，但總體水平仍然普遍偏低.中學生思維仍具有直觀化、形象化的明顯特點，對于圖形化數學推理題目的正答率普遍較高.中學生正處于一個由形象化思維到抽象化思維的過渡階段，簡單的數學推理能力相對較高，復雜的多步間接推理能力則相對較低，而且兩者差距很大.

調查結果同時顯示，初中男生的數學推理能力與初中女生的數學推理能力基本一致，初中女生在直接推理方面優于初中男生.

調查結果說明，隨著課程改革的深入，我國中學生的數學推理能力有了一定的提高，但總體水平仍然較低，中學生的數學推理能力亟待進一步提高.オ

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