論高等數學與初等數學的聯系

劉亞婷

摘 要 近年來，隨著高中數學課程的改革，初等數學與高等數學的銜接內容越來越多。因此，要想學好高等數學，必須要有牢固的初等數學基礎。高等數學沒有想象中的那么神秘，恰恰它有固定模式可循，只要我們有扎實的初等數學基礎，高等數學的學習就游刃有余了。在此，我談談高等數學與初等數學的聯系。

關鍵詞 高等數學 初等數學 聯系

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

On the Contact of Higher Mathematics and Elementary Mathematics

LIU Yating

(Mathematics Department, Xingyi Normal University for Nationalities, Xingyi, Guizhou 562400)

Abstract In recent years, with the reform of high school mathematics curriculum, elementary mathematics and mathematical convergence of more and more. Therefore, in order to learn higher mathematics, must have a solid elementary mathematical basis. Higher mathematics is not as mysterious as imagined, precisely, it has a fixed pattern to follow as long as we have a solid elementary mathematical foundation, advanced mathematics to learn to be getting. At this point, I talk about the links of higher mathematics and elementary mathematics.

Key words higher mathematics; elementary mathematics; contact

1 初等數學中一階導數在高等數學中的應用

1.1 用一階導數討論函數的單調性

在初等數學中要討論某一函數的單調性，一般根據函數單調性的定義來做，但在高等數學中，我們只需要根據一階導數與0的大小關系來判斷，即：

定理1 設函數在[]上連續，在（）內可導，則

（1） 若在（）內＞0，則函數 = 在[]上單調減少；

（2） 若在（）內＜0，則函數 = 在[]上單調增加；

例1 討論函數 = 的單調性。

解：函數 = 的定義域為（-∞,+∞），令 = 0，則 = 0將（-∞,+∞）分為（-∞,0]，[0,+∞）兩個部分區間。

當時∈（-∞,0）， ＜0，則函數 = 在（-∞,0]上單調減少；當時∈（0,+∞）， ＞0，則函數 = 在[0,+∞）上單調增加。

此題若用初等數學中定義來討論，從思維上講并不難，但其解答過程要比用此方法復雜，由此可見，有時我們用高等方法去處理初等數學問題會比較便捷。

1.2 用一階導數計算極限

當我們在求商式的極限時，經常會遇到未定式（即型或型），對于這種極限，我們常常使用洛必達法則：設當→（或→∞）時，函數和都趨于零，在點的某去心鄰域內（或當||＞時），及都存在且≠0， 存在（或為無窮大），則 = （或 = ）。

例2 求

解：此極限是未定式型，由洛必達法則得== =

例3 求

解：此極限是未定式型，由洛必達法則得== = = = 3在使用洛必達法則時，若經過分子、分母分別求導后還是型或型，應繼續使用洛必達法則，直到極限不是未定式即可。

2 待定系數法在高等數學中的應用

在初等數學中，待定系數法是一種比較常見的、重要的解題方法，它常常起到化難為易、化繁為簡的作用，在高等數學中，我們也要用到待定系數法。

2.1 待定系數法在不定積分中的應用

對于不定積分中的某些被積函數，我們無法直接找到被積函數的原函數，就可以采用待定系數法把被積函數拆成幾項，然后再對每一項積分即可。

例4 求

解： = 可分解成 =+ （*）其中、為待定系數。將（*）式兩端去分母得： =+ ，在此式中，令 = 2得 = -5，令 = 3得 = 6，從而 =+ ，故 = （ + ） = -5 + 6 = -5|| + 6 || +

2.2 待定系數法在微分方程中的應用

例5 求方程 += 的一個特解。

解：因方程 += 的自由項 = 中的 = 0恰是特征方程 += 0的一個根，故可設原方程的一個特解為 = （） =+ 直接將代入所給方程得： + （2）= ，即 ++= 比較系數得：亦即：因此 = 為所求特解。

3 用高等數學方法去求初等數學中的最值

例6 求函數 = 的最大值

解：此題若用初等方法，先計算一階差分= == ，易知0≤≤4時，有＞0，從而＞，即＜＜＜＜＜，而當≥5時又有＞0，從而＜，即：＞＞……由上可見，當 = 5時，取最大值= = ，但這種方法一般不容易想到，若用高等數學的方法去處理，就很容易找到最值點。

另解：對原函數求導得 == 令 = 0，得 = 0，用求根公式得 = -1+或 = -1，，因函數的定義域為（-∞,+∞），故 = -1+和 = -1將其分為三個區間（-∞,-1]，[-1,-1+]，[-1+,+∞）。

當∈（-∞,-1）時，＜0函數在（-∞,-1]上單調減少；當∈（-1,-1+）時，＞0函數在 [-∞, -1]上單調增加；當∈（-1+,+∞）時，＜0函數在[-1+,+∞）上單調減少。

由此可知：在（-∞,+∞）內存在最大值，而又只有一個極大值點 = -1+ ，所以當 = -1+時也為最大值點，又因∈而4＜-1+＜5，所以 = 5為最大值點即：= = 。

當然，初等數學與高等數學之間的聯系不僅僅只是這些，它們還有許多密切的聯系，總之初等數學是高等數學的基礎，高等數學是初等數學的延伸，只有掌握好初等數學的知識，才能學好高等數學。

參考文獻

[1] 高等數學.同濟大學第六版.高等教育出版社.

[2] 郭運瑞,彭躍飛.高等數學.人民出版社.

[3] 李長明,周煥山.初等數學.高等教育出版社.