分形觀點下的高等數學教學認知觀

胡曉濤 王珍娟

摘 要 根據非線性科學在認知心理學上的應用，文章分析了分形的自相似性、不規則性、迭代性在高等數學教學上的應用，來構建符合認知心理學觀點的新式高等數學教學模式。

關鍵詞 分形 自相似性 迭代性 認知心理學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

Higher Mathematics Teaching Cognitive View under Fractal Point of View

HU Xiaotao[1], WANG Zhenjuan[2]

([1] Faculty of Science, Shandong Jianzhu University, Jinan, Shandong 250101;

[2] Shandong Vocational College, Jinan, Shandong 250104)

Abstract According to the application of nonlinear science in cognitive psychology, analysis of fractal self-similarity, irregular, iteration on the teaching of higher mathematics, to build a new higher mathematics teaching model adapt to cognitive psychology perspective.

Key words fractal; self-similarity; iteration; cognitive psychology

1 分形的性質

分形是指不規則的、破碎的、分數的、不能以傳統歐氏幾何語言描述的點集。現代科學雖然廣泛涉及到可以用經典微積分研究的集合，但近年來的研究發現，不規則集合比經典的幾何圖形能更好的反映自然和社會現象，分形就為研究不規則集提供了有力的工具。

分形的性質中包含有以下的特性：（1）集合A是自相似的，既集合的部分與其本身幾何相似，包含了許多不同比例的與自身相似的樣本。（2）集合A是不規則的，不能以傳統歐氏幾何語言描述的集合，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。（3）集合A是由一個迭代過程產生的，持續的迭代步驟得到A越來越好的逼近。①

2 數學認知結構

認知心理學認為，學習是對環境的刺激，按照其關系形成的一種新的認知結構的過程。所謂認知結構，就是學習者頭腦里的知識結構，它是從教科書及課堂知識結構轉化而來的。數學的認知結構就是學習者頭腦里的數學知識按照自己理解的深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點組成的一個具有內部規律的整體結構。

學生在學習數學知識時，如果新知識與原有的數學認知結構中適當知識相聯系，那么通過新舊知識的相互作用，新知識就被納入了原有的數學認知結構。有意義的數學學習需要這樣一個接受與納入的過程，而接受與納入過程，總需要經過識記、聯系、存儲、評價等認知活動過程。這個過程就是數學認知結構建立和完善的過程。

3 分形對教學認知的啟示

3.1 高等數學的內容設置遵循自相似的原則

系統的自相似性指某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的, 或者某系統或結構的局域性質或局域結構與整體類似。在其整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在相似性。

高等數學教材內容設置的自相似性以較為廣泛的同濟大學第六版的一元函數微積分部分為例，在這個大的部分下，內容由淺入深，突出了引入概念—給出定理—實際應用的過程。一元函數微積分的內容設置中，通過學習函數與極限的概念及性質，引入一元微積分的符號系統，為導數與微分的學習打下基礎。在導數與微分的基礎上進行應用，給出微分中值定理與導數。同樣，不定積分，定積分和定積分的應用重復了以上過程，反應出了教材內容的自相似性。

多元函數微積分部分和一元函數部分類似，整體與整體之間也具有自相似性。而具體到每一章的局部內容中，仍然具有這樣的自相似性。在開始階段，由物理問題引進相應的背景，在物理運算上進行總結，給出重要的概念和定理，然后給出例題，進行相關的應用和計算。在此基礎上，教材改變原有的條件，設置更多的障礙，使得定理推廣到更廣闊的范圍，使得例題解答和實際應用達到更高的技巧，使學生的數學應用能力得到提高。

而在每一節的過程中，也基本反應了相似的過程。教材內容設置的自相似性，使得面對新內容時，只要把握住這一點，以新內容的位置與以前熟悉章節進行比較，就可以得出該部分的重點所在及與前后內容的聯系，能夠使得對教材的理解有整體的把握，這無論對高校院校教師的數學教學還是學生學習都大有裨益。

3.2 高等數學的認知教學過程具有一定的分形特性

在科學發展的早期，以線性科學為模型的心理學研究占據主導地位。但近年來，非線性科學的發展改變了傳統認知心理學中精確、客觀、量化的研究方法。認知心理學作為一個演化、開放、復雜的研究對象，不可能用決定性的簡單模式反應出心理現象的本質。②規則的線性系統在認知心理學中表現為不規則的，不能以傳統幾何語言描述的分形系統。

認知心理學的研究表明，無論何種專業，影響學生對高等數學學習的因素并不完全受限于智力的高低，很大程度上受制于學生的心理因素。對初學高數的學生而言，心理影響的表現更是如此，學生基礎薄弱，對學習有恐懼心理。

在高等數學學習中，學生的認知態度，成就動機，學習基礎，性格特點雖然對于學習水平具有一定的邏輯性作用，但最終還是要看其內因、外因以及隨機性的因素共同作用的結果。在不同的階段，在不同學生的身上，隨機性和不規則性在這個過程中占有很大的比重。

因此在高等數學的教學中，必須認識到不規則、隨機因素對學生學習造成的影響。教師應該有意識的改變學生的心理行為方式，具體到每一個學生身上，可以根據學生自身的特點，以談話、鼓勵、樹立典型、增加提問次數等方式表達教師的期望值，增強學生的自尊心。更重要的是，以科學和包容的態度面對學生學習水平的起伏，使其盡快調整，回復到正常的學習中來。

3.3 高等數學的學習是學生主動參與的認知過程，認知過程具有一定的迭代性

分形迭代性指集合是由迭代過程產生的，持續進行的迭代步驟得到A越來越精確的圖像。如圖1：

分形當中的Von Coch曲線隨著迭代步驟的進行，逐漸得到越來越精確的圖像，數學認知的過程也有類似的特點。數學認知過程是應該由新學習內容的輸入到新舊兩種認知結構發生作用，再到產生新的認知結構，到應用熟練新的認知結構。③

圖1

根據心理學的恒定假說，外界刺激與心理反應之間具有一對一的關系。高等數學中的內容結構的內部特性是根據整個數學體系的規則和這個結構的定義反復迭代來闡明的。對于新的學習內容，學生從課前預習到課上學習，到課后復習，再到期末復習，這個過程是通過反復迭代，從下到上的一個反復進行的知識結構的重建過程。

數學技能是學生數學素質中極為重要的一個部分，它包括動作技能和心智技能。動作技能是完成某一數學活動所需要的一系列外部的可見的實際動作及熟練程度，包括運用計算工具，測量，信息化條件下的數學運算以及分析等技能。技能的訓練，要通過新舊知識和技能的迭代實現，在原有技能和知識的基礎上，每一次迭代，都會使認知結構發生改變，使學生對數學技能的應用變得更加靈活和深刻。

山東省級教學研究項目資助，項目號：2009262

注釋

① K.J.Falconer.分形幾何：數學基礎及應用[M].沈陽:東北大學出版社,2-11.

② 林德宏,肖玲.科學認識思想史[M].南京:江蘇教育出版社.

③ 哈玲,楊愛民.數學認知結構與數學概念的學習[J].文山學院學報,2010(12).