基于空間仿射對應點列的雙曲拋物面三維構建及分析

江曉紅， 宋 彥

（中國礦業大學，江蘇 徐州 221116）

基于空間仿射對應點列的雙曲拋物面三維構建及分析

江曉紅， 宋 彥

（中國礦業大學，江蘇 徐州 221116）

利用計算機3D軟件構建基于空間仿射對應點列的雙曲拋物面。對雙曲拋物面進行不同方向的投射，可以準確得到雙曲拋物面不同方位和角度的投影圖。從這些投影圖中，可以更直觀、清楚的了解雙曲拋物面的投影特點。使用多個不同位置的平面對雙曲拋物面進行截切，并通過分析、觀察截交線的變化趨勢，得出幾點規律性的結論。

仿射點列；3D造型；雙曲拋物面；截交線

由空間解析幾何可知，雙曲拋物面屬于二階直紋曲面，它有兩族直母線，每族直母線始終平行于各自的導平面[1-2]。從射影幾何的角度看，雙曲拋物面是由仿射點列對應點的連線包絡成的二次曲面[3]。空間二仿射對應點列的度量性與仿射比 r，二線角 α和二線距 L有關，其中α為v1vi二交叉直線夾角，L為v1vi二交叉直線距離[4]。

在計算機虛擬三維空間中，根據上述概念及原理構建雙曲拋物面，可以更方便和直觀地了解雙曲拋物面的投影特點及其截交線的變化規律。

1 仿射對應點列形成的雙曲拋物面的三維構建及其投影特點

利用計算機三維CAD軟件在虛擬三維空間中，建立位于兩組任意位置不相交直線上的仿射對應點陣v1(Iv1, IIv1, Ⅲv1…)、v2(Iv2, IIv2, Ⅲv2…)、vi(Ivi, IIvi, Ⅲvi…)…以及u1(Iu1, IIu1, Ⅲu1…)、u2(Iu2, IIu2, Ⅲu2…)、uj(Iuj, IIuj, Ⅲuj…)…，得到兩族直母線V、U，并由兩族直母線V、U進行掃略，得到雙曲拋物面A，如圖1(a)。v1與vi兩仿射對應點列仿射比r，二線角α和二線距L，如圖1(b)所示。

圖1 三維雙曲拋物面及其投影

圖1(b)是由雙曲拋物面A得到的一組三面投影圖。這里使同族各仿射對應點列水平投影同向，因此，可直接確定兩個導平面的方向。令平行于V族母線的導平面為P、平行于U族母線的導平面為Q，導平面P、Q交線為N。導平面P、Q均垂直于H面，因此，H面投影中反映兩導平面P、Q夾角θ的實形。導平面P、Q交線N為鉛垂線。

圖2 雙曲拋物面投影的特殊形式

圖3是由雙曲拋物面A得到的又一組三面投

圖3 雙曲拋物面投影的一般形式

V面及W面投影中，V族及U族各仿射對應點列均不同向，V族及U族對應點連線的投影包絡成拋物線。圖1(b)中，雙曲拋物面A的H 面投影為特殊形式，V面及W面投影為一般形式。

圖2是由雙曲拋物面A得到的另外一組三面投影圖。這里使V族各仿射對應點列v1, v2, …, vi以及U族各仿射對應點列u1, u2, …, ui在H 面上投影分別同向，并使U同族各仿射對應點列u1, u2, …, ui平行于V面，導平面P為鉛垂面、Q為正平面，兩導平面P、Q夾角θ反映實形。V面投影為雙曲拋物面投影的一般形式，但能真實反映各仿射對應點列u1, u2, …, ui兩兩之間的仿射比r和二線角α的大小。W面及H1面為雙曲拋物面A投影的另一種特殊形式，其中U族各仿射對應點列u1, u2,…, ui彼此平行，而V族各仿射對應點列v1, v2, …, vi交于一點。影圖，是雙曲拋物面投影的一般形式。三面投影中，V族及U族各仿射對應點連線包絡成拋物線。

從以上分析可以看出空間任意位置不相交的二仿射對應點列v1（Iv1，Ⅱv1，Ⅲv1…)，vi（Ivi，Ⅱvi,Ⅲvi…)都可以通過投影變換得到其正投影[4]。由仿射對應點列v1, v2, …, vi及u1, u2, …, ui構成的雙曲拋物面的投影特點：

1） 雙曲拋物面 V族各仿射對應點列 v1, v2,…, vi及U族各仿射對應點列u1, u2, …, ui投影后仍為仿射對應點列，且對應關系不變。

2） 在一般情況下，雙曲拋物面上的兩族仿射對應點列的同名投影均不同向；兩族仿射對應點列的投影不反映θ、α和L的真實大小；仿射對應點列v1, v2,…,vi及u1, u2,…, ui連線的投影包絡成拋物線。如圖1(b)中V、W面投影、圖2中V面投影及圖3所示。

3） 特殊情況下，雙曲拋物面上的一族或兩族仿射對應點列的同名投影同向。當一族仿射對應點列如u1, u2,…, ui在某一投影面上的投影同向時，該仿射對應點列間的距離L反映實長，而另一族仿射對應點列v1, v2,…, vi在該投影面上的投影則交于一點，如圖2中W面及H1面投影所示。當兩族仿射對應點列v1, v2,…,vi及u1, u2,…, ui在某一投影面上的投影分別同向時，可直接確定兩個導平面P、Q的方向，導平面P、Q均垂直于該投影面，并反映其二面角θ的真實大小，如圖1(b)及圖2中H面投影所示。

4） 當雙曲拋物面上的一族仿射對應點列平行于某一投影面時，該族所有仿射對應點列所構成的直母線在該投影面上的投影反映實長，其仿射對應點列的仿射比r和二線角α反映實際大小，仿射對應點列對應點連線的投影包絡成拋物線。

從上面雙曲拋物面造型及其投影圖可以直觀清楚的看出：雙曲拋物面是由仿射點列對應點的連線包絡成的二次直紋曲面，雙曲拋物面有V、U兩族直母線，每一族直母線都覆蓋整個曲面，而且經過曲面上每一點有每一族唯一的一條直母線，同族每兩條母線不共面，異族的兩條母線共面；同族的一切直母線，平行于同一平面[1]。

2 雙曲拋物面截交線的變化規律

雙曲拋物面截交線的性質、形狀隨截平面位置的不同而不同。下面通過對三維雙曲拋物面進行不同位置的截切，討論其截平面位置與截交線的關系。

圖4中，平面R平行于導平面Q，截切雙曲拋物面得到U族中的一條直母線UR；同樣，平面S平行于導平面P，截切雙曲拋物面得到為V族中的一條直母線VS。

圖4 截交線為一條直母線

圖5中，正垂面R經過一條母線VR截切雙曲拋物面，得到兩條異族直母線VR、UR；同樣，正垂面S經過一條母線US截切雙曲拋物面，得到兩條異族直母線VS、US。

圖5 截交線為一對異族母線

圖6中，S平面由異族直母線VS和US構成，以S面作為分界面，用平行于S面的上下兩組平面截切雙曲拋物面，截交線為兩族不同方向的雙曲線，其漸近線方向相同，即與S面所截的兩條直母線VS和US方向相同。VS和US的各面投影也是兩族雙曲線同名投影的漸近線。

圖7中，兩組平行于兩導平面P及Q交線N、且與P及Q面均不平行的正平面及側平面截切雙曲拋物面，截交線為拋物線，其拋物線的軸線平行于兩導平面P及Q的交線N。

圖6 截交線為二族雙曲線

圖7 截交線為拋物線

圖8中，一組平面A、B和C平行于雙曲拋物面兩導平面P及Q的交線N（設N向上為正）、并且與Q的夾角大于0°且小于θ時，截得的拋物線頂點在下，開口朝上，即開口方向與N的正向同向；而當另一組平面 D、E、F等平行于兩導平面P及Q的交線N、并且與Q的夾角大于θ并小于180°時，截得的拋物線頂點在上，開口朝下，即開口方向與N的正向反向。

圖8 拋物線的開口方向和其截平面與導平面的夾角有關

通過上面對三維雙曲拋物面的空間以及二維投影分析可得出下面的結論：

1） 經過雙曲拋物面一條母線，且不平行于導平面的每一個平面也必然經過屬于另一族的一條母線。這樣的平面截切雙曲拋物面，截得兩條異族直母線。

2） 當平面平行一條母線vm，且不平行于導平面時，也必然平行于屬于另一族的一條母線un，這樣的平面截切雙曲拋物面，截交線為雙曲線，其漸近線的方向即是母線vm及母線un的方向。這樣一組平行的平面截切雙曲拋物面，截得的雙曲線具有相同方向的漸近線，與母線vm及母線un平行。

3） 平面在雙曲拋物面上截得的每一對雙曲線，其漸近線均平行于一對異族母線，這對異族母線構成的平面與該平面平行。

4） 當平面平行于兩導平面P及Q的交線N、且與P及Q面均不平行時，截切雙曲拋物面，截交線為拋物線，拋物線的軸線平行于兩導平面P及Q的交線N。

5） 雙曲拋物面上拋物線的開口方向和截平面與導平面P及Q的夾角θ有關，如圖8。當截平面與導平面的夾角大于0°并小于θ時，拋物線的開口方向與N的正向同向；當截平面與導平面的夾角大于θ并小于180°時，拋物線的開口方向與N的正向反向。

3 結 束 語

利用計算機三維造型軟件可以構建基于空間仿射對應點列的三維雙曲拋物面。對三維雙曲拋物面進行不同方向的投射，可以準確得到雙曲拋物面不同方位和角度的投影圖。從這些投影圖中可以更直觀、清楚的了解雙曲拋物面的投影特點。使用多個不同位置的平面對三維雙曲拋物面進行截切，并通過分析、觀察截交線的變化趨勢，得出幾點規律性的結論。

[1] 南開大學數學系《空間解析幾何引論》編寫組編. 空間解析幾何引論[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978: 154-160.

[2] 何 斌, 陳錦昌, 王楓紅. 建筑制圖[M]. 北京: 高等教育出版社, 2010: 111-114.

[3] 劉阜平, 丁 勇. 二射影對應點列與二級曲線[J].山西礦業學院學報, 1996, 52(4): 354-358.

[4] 劉阜平, 丁 勇. 空間二仿射對應點列形成的雙曲拋物面[J]. 工程圖學學報, 2011, 32(6): 2-4.

The 3D modeling and analysis of hyperbolic paraboloid based on the spatial affine point ranges

Jiang Xiaohong, Song Yan
( China University of Mining and Technology, Xuzhou Jiangsu 221116, China )

This article constructs three-dimensional hyperbolic paraboloid based on spatial affine point ranges using the computer 3D software. From the projection in different directions on hyperbolic paraboloid，a series of projection drawing in different directions and angles of the hyperbolic paraboloid can be acquired. The characteristics of the projection drawing of the hyperbolic paraboloid are understood more directly and clearly from these projections. By using a number of planes of different locations to cut the hyperbolic paraboloid and by analyzing and observing the trend of intersection lines, several conclusions of regularity are obtained.

affine point ranges; 3D modeling; hyperbolic paraboloid; intersection line

O 185

A

2095-302X (2012)05-0024-04

2010-02-15；定稿日期：2012-04-10

江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

江曉紅（1958-），女，吉林長春人，教授，博士，主要研究方向為工程圖學、計算機三維CAD。E-mail：xh.jiang@126.com