《常微分方程》精品課程的教學(xué)改革與教學(xué)實(shí)踐*

韓祥臨 ， 歐陽成

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

《常微分方程》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)和信息與計算科學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課。它既是數(shù)學(xué)分析的延續(xù)，又是泛函分析、偏微分方程和微分幾何的基礎(chǔ)。同時，它也是經(jīng)濟(jì)類和工程類專業(yè)的必修課之一。常微分方程的重要性在于它是自然科學(xué)和社會科學(xué)中精確表述基本定律和各種問題根本工具之一，只要根據(jù)實(shí)際背景列出微分方程，并能(數(shù)值地或定性地)求出方程的解，人們就能預(yù)見事情的變化情況。于是，微分方程成為人們認(rèn)識、改造自然和社會的有力工具，也是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一。因此，微分方程對本科數(shù)學(xué)的重要性就顯而易見了。湖州師范學(xué)院“常微分方程”精品課程是國家特色專業(yè)(數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué))下的專業(yè)主干課程，課程組十分重視課程的建設(shè)工作。這里，結(jié)合從事微分方程教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐，談?wù)劤Ｎ⒎址匠陶n程改革的思路與實(shí)踐。

1 科學(xué)提煉課程教學(xué)模式

微分方程是一門基礎(chǔ)課，教材[1]中的內(nèi)容大多是一些以理論分析和理論推導(dǎo)為主的純數(shù)學(xué)知識，但是，如果因此就把微分方程看成是一門只講基礎(chǔ)知識和方程解法的純理論性課程，教學(xué)效果就比較差。微分方程有兩個“端點(diǎn)”，一個端點(diǎn)是實(shí)際背景，另一個端點(diǎn)是實(shí)際應(yīng)用。離開了這兩個端點(diǎn)，微分方程就成了無水之源，無本之本。因此，要結(jié)合新的教學(xué)實(shí)際，特別是高教大發(fā)展的具體情況，努力改革教學(xué)模式，不斷提高教學(xué)質(zhì)量。堅(jiān)持做到：保持基礎(chǔ)性、增加現(xiàn)代性、拓展應(yīng)用性、培養(yǎng)創(chuàng)新性。筆者提出“基礎(chǔ)+提高+應(yīng)用+研究”四位一體的教學(xué)模式。

“基礎(chǔ)”：指抓好基本理論和基本技能(解題技巧)的教學(xué)工作，理論教學(xué)必須有一定的高度和深度。這一部分以課堂教學(xué)為主。

“提高”：包括三個方面。一是習(xí)題課教學(xué)，通過習(xí)題課來消化理解并加深理論知識和基本機(jī)能，從而達(dá)到提升理論水平的效果。二是課外答疑(含網(wǎng)絡(luò)答疑和面對面答疑)。針對不同的個體，將答疑制度化，通過答疑輔導(dǎo)，來掃除學(xué)生學(xué)習(xí)中的障礙。三是抓好兩頭，促進(jìn)中間。就不同層次進(jìn)行分類指導(dǎo)，特別是要給學(xué)習(xí)成績比較突出的同學(xué)留出學(xué)習(xí)空間，而給學(xué)習(xí)相對薄弱的同學(xué)及時補(bǔ)習(xí)，達(dá)到共同提高的目的。

“應(yīng)用”：指盡可能在每一部分的引入中，以切實(shí)可行的實(shí)際問題為背景引導(dǎo)出所需要的微分方程，讓學(xué)生親身體會方程的來源。同時，結(jié)合數(shù)學(xué)建模，在教學(xué)過程中適當(dāng)加入模型分析，利用教學(xué)軟件，進(jìn)行數(shù)值模擬。一方面可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，避免枯燥地講授理論和繁雜的數(shù)學(xué)計算；另一方面還可以通過應(yīng)用加深對理論知識的理解。

“研究”：對學(xué)有余力的同學(xué)，組織學(xué)生的學(xué)術(shù)研討班，邀情有學(xué)術(shù)造詣的老師作指導(dǎo)，選擇合適的課題，進(jìn)行學(xué)術(shù)研討，開展大學(xué)生科研立項(xiàng)，撰寫學(xué)術(shù)小論文，進(jìn)而充分發(fā)揮學(xué)生的潛能和優(yōu)勢，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高教學(xué)的質(zhì)量和層次。湖州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系就組織了“微分方程奇異攝動理論”的學(xué)術(shù)研討論，學(xué)生參與的積極性十分高，每三周進(jìn)行一次集中研討，以老師指導(dǎo)和學(xué)生自學(xué)為主，老師報告與學(xué)生報告相結(jié)合，每位參與者都寫出了小論文。同時，以此為基礎(chǔ)，學(xué)生的畢業(yè)論文質(zhì)量明顯提高，參加討論班的同學(xué)論文優(yōu)秀率達(dá)到80 %。

2 合理整合教學(xué)內(nèi)容

課本中只有教學(xué)的基本內(nèi)容，教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)大綱的要求，特別是按照課程教學(xué)模式的要求，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理安排。以王高雄等主編《常微分方程》(高等教育出版社)為例。

首先，在吃透教材的基礎(chǔ)上，對教材的基本內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)處理。例如，對第三章一階微分方程的解的存在定理中的部分定理(如解對初值的連續(xù)性和可微性定理)只介紹定性的條件與結(jié)論，不作證明。因?yàn)橐环矫嬖谛碌男蝿菹拢n時比較緊，一般的院校只有周課時3節(jié)；另一方面，對普通本科院校特別是師范院校而言，除數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)外，其它專業(yè)的學(xué)生對這些定理的證明在學(xué)習(xí)上有一定的難度，教學(xué)效果很差。再如可以先講第五章微分方程組再講第四章高階微分方程，把高階微分方程看作微分方程組的特殊。這樣，第四章的許多公式和定理就不必再證明了，于是節(jié)省了很多課時。

其次，要結(jié)合教學(xué)模式的設(shè)計，合理安排教學(xué)模塊。(一)理論模塊。這些理論除了第三章一階微分方程的存在定理、第四章線性方程的解的結(jié)構(gòu)理論、第五章線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論以及第六章解的穩(wěn)定性理論外，有些理論是分散在各章的，應(yīng)注意及時整理總結(jié)。(二)解方程模塊。這是理論模塊的落腳點(diǎn)之一，其內(nèi)容分散在各章中，類型多，內(nèi)容雜，要及時歸類，并加強(qiáng)訓(xùn)練。(三)應(yīng)用模塊。除在每章或某一節(jié)的引入中通過實(shí)際問題建立模型外，要適當(dāng)補(bǔ)充數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容，結(jié)合Matlab軟件或Mathematica軟件來求解一些方程的解。如捕魚問題、技術(shù)革命問題、單擺問題、二體問題、綜合國力問題和生物種群問題等，可向?qū)W生講清實(shí)際背景，然后列出方程，用學(xué)過的微分方程知識進(jìn)行求解，再返回到實(shí)際問題中去，來解釋某些實(shí)際現(xiàn)象。這樣，既鞏固了課堂的理論知識，降低了純理論講解的枯燥性，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又極大地增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。(四)課程進(jìn)展模塊[2]。要向?qū)W生講清微分方程與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、偏微分方程和物理學(xué)的關(guān)系，例如可十分簡潔向?qū)W生介紹微分方程的局部理論能平行地搬到微分幾何中的微分流形上去。這既可以理清知識的脈絡(luò)，將數(shù)學(xué)看成一個整體來學(xué)習(xí)，又可以同高年級學(xué)習(xí)接軌。并在適當(dāng)?shù)牡胤较驅(qū)W生介紹當(dāng)今微分方程的學(xué)術(shù)研究進(jìn)展和應(yīng)用前景，使學(xué)生能從宏觀上把握微分方程的地位和作用。同時，在課堂教學(xué)的過程中，適當(dāng)介紹對微分方程有重要貢獻(xiàn)的人物及其他們是如何解決微分方程中的某一問題的[2]，如歐拉、柯西、伯努利、皮卡、李亞普諾夫等等。以此來進(jìn)一步提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和學(xué)習(xí)興趣。

再次，要抓住微分方程的數(shù)學(xué)思想[3-5]。常微分方程的中心是解方程，但是其方程的類型很繁雜，許多同學(xué)難以把握。教師可有意識地去挖掘理論知識背后的數(shù)學(xué)思想，將理論知識進(jìn)一步提煉、升華，并將許多知識有機(jī)地結(jié)合起來。以第二章“一階微分方程的初等解法”為例，教師可抓住變量分離方程和恰當(dāng)方程這兩個中心，浸透化歸思想，即其它幾種類型的方程都可歸結(jié)為這兩種類型的方程。再如高次線性方程可化為線性方程組、常學(xué)高次線性方程如線性方程組可歸結(jié)為代數(shù)方程等等[6-10]。另外微分方程中還包含著方程的思想、數(shù)學(xué)模型的思想、函數(shù)的思想等等。

3 采用多樣化教學(xué)手段與教學(xué)方式

就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，筆者贊成以“黑板+粉筆”為主的教學(xué)手段。因?yàn)閿?shù)學(xué)需要一步步推演，而思維有一種“時滯”現(xiàn)象，這種推演的過程正好是學(xué)生思考理解的過程。因此，在教學(xué)中“黑板+粉筆”仍舊是無法替代的，這種教學(xué)方式靈活性強(qiáng)，可隨時根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行調(diào)整，并能增加師生的交互性，其推導(dǎo)的過程能吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生思考。由于微分方程與實(shí)際問題的聯(lián)系比較密切，結(jié)合四位一體的教學(xué)模式，筆者采用了如下做法。

3.1 將教案做成課件

凡問題的引入、背景分析、定理和定義的表述以及例題和習(xí)題都用多媒體教學(xué)。凡定理的證明和例題講解用黑板。課件要求簡潔直觀、圖文并茂、人機(jī)交互，這樣既節(jié)省了課時，增大了信息量，又保證了教學(xué)質(zhì)量。

3.2 充分利用精品課程網(wǎng)站

有關(guān)課程的背景材料、電子教案、習(xí)題庫、章節(jié)測驗(yàn)題、期末試卷庫、學(xué)生科研論文文獻(xiàn)，教師教學(xué)論文文獻(xiàn)、學(xué)術(shù)信息、網(wǎng)絡(luò)作業(yè)、網(wǎng)上答疑等等材料都在網(wǎng)上，學(xué)生可以根據(jù)網(wǎng)上材料進(jìn)行自學(xué)，也可以就自己感興趣的問題展開討論。教師和學(xué)生之間打破了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，拓展了教學(xué)空間和學(xué)習(xí)空間。

3.3 采用師生互動式教學(xué)

首先，選擇一部分比較容易的內(nèi)容，讓學(xué)生在老師指導(dǎo)下備課、講課。由于師范生將來要當(dāng)老師，所以他們的積極性很高，上課效果很好。通過“換位”，學(xué)生對教師這一職業(yè)有了更深刻的理解，上課紀(jì)律更好了。其次，每次堂結(jié)束時，留一個思考題(有一定的難度)，在下次上課時讓學(xué)生發(fā)表不同的意見與解題思路，老師分別給予講評，并記入平時成績。通過幾個學(xué)期的試驗(yàn)可以看出，這種方式吸引了絕大多數(shù)同學(xué)的注意力，學(xué)習(xí)積極性調(diào)動起來了，上課氣氛十分活躍。再次，倡導(dǎo)啟發(fā)教學(xué)，在學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)或遇到困難時，逐步引導(dǎo)，調(diào)動并發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，開發(fā)其分析問題和解決問題的能力。

3.4 教學(xué)上注意抓好兩頭

首先，對學(xué)有余力的同學(xué)開設(shè)學(xué)術(shù)討論班。學(xué)校數(shù)學(xué)系微分方程奇異攝動理論方向有三位教授，平時教師每三周舉行一次學(xué)術(shù)討論班，師資力量比較強(qiáng)。根據(jù)這一情況，在學(xué)生自己報名的基礎(chǔ)上，開設(shè)了學(xué)生的學(xué)術(shù)研討班，以老師指導(dǎo)為主，學(xué)生與老師互動，并開展大學(xué)科研立項(xiàng)，收效很好。其次，對后進(jìn)生，采取個別輔導(dǎo)和集中補(bǔ)習(xí)的方式，讓他們掌握這門課程的基本理論、基本技能和基本方法，及時趕上。這可作為教學(xué)方式的必要補(bǔ)充。

4 制定靈活的評價機(jī)制

評價機(jī)制是學(xué)習(xí)的向?qū)В陀^的評價機(jī)制對于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，挖掘?qū)W習(xí)潛能具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用。根據(jù)四位一體的教學(xué)模式，構(gòu)建了“期末為主、重視平時、提倡應(yīng)用、獎勵創(chuàng)新”的多元化、靈活性評估機(jī)制。期末考試采用閉卷筆試的形式，占總成績的60 %。在考核內(nèi)容上突出三點(diǎn)：(一)對基本概念的掌握程度，以30分填空題共15個空來體現(xiàn)。這一部分覆蓋面很廣，有一定的深刻，要求學(xué)生切實(shí)理解基本概念。(二)分析問題與解決問題的綜合能力，以20分至30分大題目來實(shí)現(xiàn)。一方面要考查學(xué)生數(shù)學(xué)的推演能力，另一方面要考查學(xué)生從實(shí)際出發(fā)，建立模型，求解問題并解釋問題的能力。(三)解方程的技巧。占40分至50分，主要考核學(xué)生求解方程的技巧和能力。

平時成績占總成績的40 %。這包括到課率占5 %，上課紀(jì)律占5 %，上課回答問題情況占5 %，作業(yè)情況占5 %，期中考試成績占15 %。

額外加分。凡主持或參加“微分方程及其應(yīng)用”大學(xué)生科研立項(xiàng)、參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽并獲獎、參加微分方程學(xué)術(shù)討論班和有學(xué)術(shù)論文發(fā)表的學(xué)生，根據(jù)實(shí)際情況酌情加分，加到滿分為止。同時，本專業(yè)設(shè)有創(chuàng)新獎，凡在上述幾個方面成績比較突出的學(xué)生，可以得到數(shù)學(xué)創(chuàng)新獎。以此來激勵創(chuàng)新。

5 取得的教學(xué)效果

“四位一體”教學(xué)模式被許多課程采用或借鑒。通過三年的實(shí)踐，在新的教學(xué)模式下取得了一定的成效。首先，通過全體教師的共同努力，“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”師范專業(yè)于2008年被評為國家特色專業(yè)，本課程作為該專業(yè)的重要課程也起到了一定的作用。該專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)氣有很大改觀，綜合素質(zhì)明顯提高，如學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性大大提高，上課紀(jì)律性顯著增強(qiáng)。“常微分方程”被評為精品課程，該課程考試的通過率幾乎是百分之百。其次，師范技能有實(shí)質(zhì)性的加強(qiáng)，制作課件的能力和使用數(shù)學(xué)軟件的能力大大增強(qiáng)，學(xué)生受到杭嘉湖地區(qū)各中學(xué)的普遍歡迎，就業(yè)率比較高。再次，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模成績有了新突破，如2006年獲得國家一等獎1項(xiàng)，二等獎2項(xiàng)。第四，創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力明顯增強(qiáng)。主要表現(xiàn)在學(xué)生論文發(fā)表率、大學(xué)生科研立項(xiàng)、考研錄取率等方面的指標(biāo)逐年提高。

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